Question

【题目】在△ABC中，AB=AC，∠BAC=α（0°＜α＜60°），分别以AB、BC为边作等边三角形ABE和等边三角形BCD，连结CE，如图1所示．

（1）直接写出∠ABD的大小（用含α的式子表示）；

（2）判断DC与CE的位置关系，并加以证明；

（3）在（2）的条件下，连结DE，如图2，若∠DEC=45°，求α的值．

Answer 1

【答案】（1）∠ABD=30°﹣∠α；（2）DC与CE垂直；见解析（3）∠α=30°．

【解析】

试题分析：（1）根据等腰三角形的性质得到∠ABC=∠ACB==90°﹣∠α，根据角的和差即可得到结论；

（2）连接AD；根据已知条件得到∠ABD=∠EBC，推出△ABD≌△EBC，根据全等三角形的性质得到∠ADB=∠ECB，证得△ABD≌△ACD，由全等三角形的性质得到∠BAD=∠CAD=∠α，根据三角形的内角和得到∠BDA=180°﹣∠ABD﹣∠BAD=180°﹣（30°﹣∠α ）﹣∠α=150°，求得∠BCE=150°，即可得到结论．

（3）根据已知条件得到△DEC为等腰三角形，根据等腰直角三角形的性质得到DC=DE=BC，根据三角形的内角和得到∠EBC=15°，即可得到结论．

解：（1）∵AB=AC，∠A=∠α，

∴∠ABC=∠ACB=

=90°﹣∠α

∴∠ABD=∠ABC﹣∠ABE

=90°﹣∠α﹣60°

=30°﹣∠α；

（2）DC与CE垂直；

连接AD；

∵∠ABE=∠DBC=60°，

∴∠ABE﹣∠DBE=∠DBC﹣∠DBE，

即∠ABD=∠EBC，

在△ABD和△EBC中，

，

∴△ABD≌△EBC，

∴∠ADB=∠ECB，

在△ABD和△ACD中，

，

∴△ABD≌△ACD，

∴∠BAD=∠CAD=∠α，

∴∠BDA=180°﹣∠ABD﹣∠BAD=180°﹣（30°﹣∠α ）﹣∠α=150°，

∴∠BCE=150°，

∵∠BCD=60°，

∴∠DCE=90°，

即DC与CE垂直；

（3）∵∠DCE=90°，

又∵∠DEC=45°，

∴△DEC为等腰三角形，

∴DC=DE=BC，

∵∠BCE=150°，

∴∠EBC=15°，

∵∠EBC=30°﹣∠α=15°，

∴∠α=30°．