Question

【题目】已知：正方形ABCD，E为平面内任意一点，连接DE，将线段DE绕点D顺时针旋转90°得到DG，连接EC，AG．
（1）当点E在正方形ABCD内部时， ①根依题意，在图1中补全图形；
②判断AG与CE的数量关系与位置关系并写出证明思路．

（2）当点B，D，G在一条直线时，若AD=4，DG=2 ，求CE的长．（可在备用图中画图）

Answer 1

【答案】
（1）解：当点E在正方形ABCD内部时，

①根依题意，补全图形如图1：

②AG=CE，AG⊥CE．

理由：

在正方形ABCD，

∴AD=CD，∠ADC=90°，

∵由DE绕着点D顺时针旋转90°得DG，

∴∠GDE=∠ADC=90°，GD=DE，

∴∠GDA=∠EDC

在△AGD和△CED中， ，

∴△AGD≌△CED，

∴AG=CE．

延长CE分别交AG、AD于点F、H，

由①中结论△AGD≌△CED，

∴∠GAD=∠ECD，

∵∠AHF=∠CHD，

∴∠AFH=∠HDC=90°，

∴AG⊥CE．

（2）解：①当点G在线段BD的延长线上时，如图3所示．

过G作GM⊥AD于M．

∵BD是正方形ABCD的对角线，

∴∠ADB=∠GDM=45°．

∵GM⊥AD，DG=2

∴MD=MG=2，

∴AM=AD+DM=6

在Rt△AMG中，由勾股定理，得

AG= =2 ，

∴CE=AG=2

②当点G在线段BD上时，如图4所示，

过G作GM⊥AD于M．

∵BD是正方形ABCD的对角线，

∴∠ADG=45°

∵GM⊥AD，DG=2

∴MD=MG=2，

∴AM=AD﹣MG=2

在Rt△AMG中，由勾股定理，得

AG= =2

∴CE=AG=2

故CE的长为2 或2 ．

【解析】（1）①根据题意补全图形，

②先判断出∠GDA=∠EDC，进而得出△AGD≌△CED，即可得出AG=CE，最后判断出∠AFH=∠HDC=90°即可得出结论；（2）分两种情况，①当点G在线段BD的延长线上时和②当点G在线段BD上时，构造直角三角形利用勾股定理即可得出结论．

【考点精析】解答此题的关键在于理解图形的旋转的相关知识，掌握每一个点都绕旋转中心沿相同方向转动了相同的角度，任意一对对应点与旋转中心的连线所成的角都是旋转角，对应点到旋转中心的距离相等．旋转的方向、角度、旋转中心是它的三要素．