Question

【题目】如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，以A为圆心，任意长为半径画弧分别交AB、AC于点M和N，再分别以M、N为圆心，大于MN的长为半径画弧，两弧交于点P，连接AP，并延长交BC于点D，则下列说法中正确的个数是（ ）

①AD是∠BAC的平分线；②∠ADC＝60°；③点D在AB的垂直平分线上；④若AC=dm，AD=2dm，则点D到AB的距离是1dm；⑤S△DAC∶S△DAB＝AC∶AB＝1∶2

A. 2 B. 3 C. 4 D. 5

Answer 1

【答案】D

【解析】①根据作图的过程可知，AD是∠BAC的平分线；故①正确；

②如图，

∵在△ABC中，∠C=90，∠B=30°，∴∠CAB=60°.

又∵AD是∠BAC的平分线，∴∠1=∠2=∠CAB=30°，

∴∠3=90°∠2=60°，即∠ADC=60°.故②正确；

③∵∠1=∠B=30°，∴AD=BD，∴点D在AB的垂直平分线上；故③正确；

④∵∠C＝90°，AC=dm，AD=2dm，∴CD=1cm，

如图，过D作DE⊥AB于点E，

∵AD是∠CAB的平分线，DC⊥AC，DE⊥AB，

∴CD=ED， ∴ED=1cm，故④正确；

（5）在直角△ACD中，∠2=30°，

∴CD=AD，

∴BC=CD+BD=AD+AD=AD，S△DAC=ACCD=ACAD.

∴S△ABD=ACBD=ACAD=ACAD，

∴S△DAC:S△ABD=ACAD: ACAD=1:2.故⑤正确.

综上所述，正确的结论是：①②③④⑤.

故选：D.