Question

【题目】如图，AB为半圆O的直径，CD切⊙O于点E，AD、BC分别切⊙O于A、B两点，AD与CD相交于D，BC与CD相交于C，连接OD、OC，对于下列结论：①OD2=DECD；②AD+BC=CD；③OD=OC；④S梯形ABCD=CDOA；⑤∠DOC=90°；⑥若切点E在半圆上运动（A、B两点除外），则线段AD与BC的积为定值．其中正确的个数是（ ）
A.5
B.4
C.3
D.2

Answer 1

【答案】A
【解析】解：连接OE，如图所示： ∵AD与圆O相切，DC与圆O相切，BC与圆O相切，
∴∠DAO=∠DEO=∠OBC=90°，
∴DA=DE，CE=CB，AD∥BC，
∴CD=DE+EC=AD+BC，选项②正确；
∴S梯形ABCD= （AD+BC）AB=CDOA；选项④正确；
在Rt△ADO和Rt△EDO中，
，
∴Rt△ADO≌Rt△EDO（HL），
∴∠AOD=∠EOD，
同理Rt△CEO≌Rt△CBO，
∴∠EOC=∠BOC，
又∵∠AOD+∠DOE+∠EOC+∠COB=180°，
∴2（∠DOE+∠EOC）=180°，即∠DOC=90°，选项⑤正确；
∴∠DOC=∠DEO=90°，又∠EDO=∠ODC，
∴△EDO∽△ODC，
∴ = ，即OD2=DCDE，选项①正确；
同理△ODE∽△OEC，
∴ ，
∴OD≠OC，选项③错误；
∵∠COD=90°，OE⊥CD，
∴OE2=CEDE，
∵DA=DE，CE=CB，
∴ADBC=OE2 ，
∴线段AD与BC的积为定值，故⑥正确．
故选A．