Question

【题目】如图，已知直径与等边△ABC的高相等的圆O分别与边AB、BC相切于点D、E，边AC过圆心O与圆O相交于点F、G．

（1）求证：DE∥AC；

（2）若△ABC的边长为a，求△ECG的面积．

Answer 1

【答案】（1）证明见解析；（2）.

【解析】试题分析：（1）由△ABC是等边三角形可知∠B、∠C的度数，又因AB、BC是圆O的切线，D、E是切点，可知BD=BE，故可以证明两直线平行．

（2）分别连接OD、OE，作EH⊥AC于点H，由题意知条件可求出AO=OC，由圆O的直径等于△ABC的高，得半径OG，进而求出CG，EH，

有三角形面积公式求出数值．

试题解析：（1）∵△ABC是等边三角形，

∴∠B=60°，∠C=60°；

∵AB、BC是圆O的切线，D、E是切点，

∴BD=BE，

∴∠BDE=60°，∠A=60°，

∴DE∥AC．

（2）分别连接OD、OE，作EH⊥AC于点H．

∵AB、BC是圆O的切线，D、E是切点，O是圆心，

∴∠ADO=∠OEC=90°，OD=OE，AD=EC．

∴△ADO≌△CEO，有AO=OC=a．

∵圆O的直径等于△ABC的高，得半径OG=a，

∴CG=OC+OG=a+a，

∵EH⊥OC，∠C=60°，

∴∠COE=30°，EH=a；

∵S△ECG=CGEH=（a+a）a，

∴S△ECG＝a2+a2＝.