Question

【题目】在△ABC中，AB=AC，点F是BC延长线上一点，以CF为边，作菱形CDEF，使菱形CDEF与点A在BC的同侧，连结BE，点G是BE的中点，连结AG、DG．

（1）如图①，当∠BAC=∠DCF=90°时，已知AC=3，CD=2，求AG的长度；

（2）如图②，当∠BAC=∠DCF=60°时，AG与DG有怎样的位置和数量关系，并证明；

（3）当∠BAC=∠DCF=α时，试探究AG与DG的位置和数量关系（数量关系用含α的式子表达）．

Answer 1

【答案】(1)、；(2)、AG⊥GD，AG=DG；证明过程见解析；(3)、DG=AGtan；证明过程见解析.

【解析】

试题分析：(1)、延长DG与BC交于H，先证△BG△≌EGD，得到BH=DC，=ED，HG=DG，得出BH，再证△ABH≌△ACD，得出∠BAH∠=∠CAD，AH=AD，进而求得∠HAD=90°，即可；(2)、延长DG与BC交于H，先证△BG△≌EGD，得到BH=DC，=ED，HG=DG，得出BH，再证△ABH≌△ACD，得出∠BAH∠=∠CAD，AH=AD，得到△H△AD为等边三角形，即可；(3)、延长DG与BC交于H，先证△BG△≌EGD，得到BH=DC，=ED，HG=DG，得出BH，再证△ABH≌△ACD，得出∠BAH∠=∠CAD，AH=AD，得到△H△AD为等腰三角形，即可．

试题解析：(1)、如图1，延长DG与BC交于H，连接AH、AD，

∵四边形DCEF是正方形， ∴DE=DC，DE∥CF， ∴∠GBH=∠GED，∠GHB=∠GDE， ∵G是BC的中点，

∴BG=EG， 在△BGH和△EGD中， ∵∠GBH=∠GED，∠GHB=∠GDE，BG=EG， ∴△BGH≌△EGD（AAS），

∴BH=ED，HG=DG， ∴BH=DC， ∵AB=AC，∠BAC=90°， ∴∠ABC=∠ACB=45°， ∵∠DCF=90°，

∴∠DCB=90°， ∴∠ACD=45°， ∴∠ABH=∠ACD=45°， 在△ABH和△ACD中， ∵AB=AC，∠ABH=∠ACD，BH=CD， ∴△ABH≌△ACD（SAS）， ∴∠BAH=∠CAD，AH=AD， ∵∠BAH+∠HAC=90°，

∴∠CAD+∠HAC=90°， 即∠HAD=90°， ∴AG⊥GD，AG=GD； 在Rt△ABC中，AB=AC=，

∴BC=6 在Rt△DCH中，DC=2，HC=BC﹣BH=6﹣2=4， ∴DH==2， ∴GD=DH=，

∴AG=GD=．

（2）AG⊥GD，AG=DG；

如图2，延长DG与BC交于H，连接AH、AD，

∵四边形DCEF是正方形， ∴DE=DC，DE∥CF， ∴∠GBH=∠GED，∠GHB=∠GDE， ∵G是BC的中点，

∴BG=EG，在△BGH和△EGD中， ∵∠GBH=∠GED，∠GHB=∠GDE，BG=EG， ∴△BGH≌△EGD（AAS），

∴BH=ED，HG=DG， ∴BH=DC， ∵AB=AC，∠BAC=∠DCF=60， ∴∠ABC=60°，∠ACD=60°，

∴∠ABC=∠ACD=60°， 在△ABH和△ACD中， ∵AB=AC，∠ABH=∠ACD，BH=CD， ∴△ABH≌△ACD（SAS），/p>

∴∠BAH=∠CAD，AH=AD， ∴∠BAC=∠HAD=60°， ∴AG⊥HD，∠HAG=∠DAG=30°，

∴tan∠DAG=tan30°=， ∴AG=DG；

（3）如图3，延长DG与BC交于H，连接AH、AD，

∵四边形DCEF是正方形， ∴DE=DC，DC∥CF， ∴∠GBH=∠GED，∠GHB=∠GDE， ∵G是BC中点，

∴BG=EG， ∴△BGH△≌△EGD， ∴BH=ED，HG=DG， ∴BH=DC， ∵AB=AC，∠BAC=DCF=α，

∴∠ABC=90°﹣，∠ACD=90°﹣， ∴∠ABC=ACD， ∵AB=AC，∠ABH=∠ACD，BH=CD，

∴△ABH≌△ACD， ∴∠BAH=∠CAD，AH=AD， ∴∠BAC=HAD=α， ∴AG⊥HD，∠HAG=∠DAG=，

∴tan∠DAG=tan=， ∴DG=AGtan．