Question

【题目】如图，在等边△ABC中，AB=AC=BC=10厘米，DC=4厘米．如果点M以3厘米/秒的速度运动．

（1）如果点M在线段CB上由点C向点B运动，点N在线段BA上由B点向A点运动．它们同时出发，若点N的运动速度与点M的运动速度相等．

①经过2秒后，△BMN和△CDM是否全等？请说明理由．

②当两点的运动时间为多少时，△BMN是一个直角三角形？

（2）若点N的运动速度与点M的运动速度不相等，点N从点B出发，点M以原来的运动速度从点C同时出发，都顺时针沿△ABC三边运动，经过25秒点M与点N第一次相遇，则点N的运动速度是　 　厘米/秒．（直接写出答案）

Answer 1

【答案】（1）①△BMN≌△CDM．理由见解析；②当t=秒或t=秒时，△BMN是直角三角形；（2）3.8或2.6．

【解析】试题分析：①根据题意得CM=BN=6CM，所以BM=4CM=CD．根据“SAS”证明△BMN≌△CDM；

②设运动时间为t秒，分别表示CM和BN．分两种情况，运用特殊三角形的性质求解：I．∠NMB=90°；Ⅱ．∠BNM=90°；

（2）点M与点N第一次相遇，有两种可能：I．点M运动速度快；Ⅱ．点N运动速度快．分别列方程求解．

试题解析：（1）①△BMN≌△CDM．理由如下：

∵VN=VM=3厘米/秒，且t=2秒，

∴CM=2×3=6（cm），

BN=2×3=6（cm），

BM=BC﹣CM=10﹣6=4（cm），

∴BN=CM，

∵CD=4（cm），

∴BM=CD，

∵△ABC是等边三角形，

∴∠B=∠C=60°，

在△BMN和△CDM中，

BN=CM，∠B=∠C，BM=CD，

∴△BMN≌△CDM．（SAS）.

②设运动时间为t秒，△BMN是直角三角形有两种情况：

Ⅰ．当∠NMB=90°时，

∵∠B=60°，

∴∠BNM=90°﹣∠B=90°﹣60°=30°．

∴BN=2BM，

∴3t=2×（10﹣3t），

∴t=（秒）；

Ⅱ．当∠BNM=90°时，

∵∠B=60°，

∴∠BMN=90°﹣∠B=90°﹣60°=30°．

∴BM=2BN，

∴10﹣3t=2×3t，

∴t=（秒）．

∴当t=秒或t=秒时，△BMN是直角三角形；

（2）分两种情况讨论：

I．若点M运动速度快，则 3×25﹣10=25VN，解得 VN=2.6；

Ⅱ．若点N运动速度快，则 25VN﹣20=3×25，解得 VN=3.8．

故答案为 3.8或2.6．