Question

【题目】如图1，已知△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，AE是过A的一条直线。且点B、C在AE的两侧，BD⊥AE于D，CE⊥AE于E，试设明：

（1）BD=DE+CE；

（2）若直线AE绕A点旋转到图2位置（BD＜CE），其余条件不变时，则BD与DE、CE的关系如何？

（3）若直线AE绕A点旋转到图3位置（CE＜BD），其余条件不变时，则BD与DE、CE的关系 。（直接写出结果）

Answer 1

【答案】(1)见解析；（2）DE=BD-CE,理由见解析；（3）DE=BD-CE,理由见解析。

【解析】

（1）证明△ABD≌△CAE，即可证得BD=AE，AD=CE，而AE=AD+DE=CE+DE，即可证得；（2）（3）图形变换了，但是（1）中的全等关系并没有改变，因而BD与DE、CE的关系并没有改变，利用（1）的方法即可快速证明。

解：（1）证明：∵∠BAC=90°，

∴∠BAD+∠EAC=90°，

又∵BD⊥AE，CE⊥AE，

∴∠BDA=∠AEC=90°，∠BAD+∠ABD=90°，

·∴∠ABD=∠EAC，

又∵AB=AC，

∴△ABD≌△CAE，

∴BD=AE，AD=CE，

又∵AE=AD+DE=CE+DE，

. ∴BD=DE+CE.

（2）BD=DE-CE,理由如下：

如图2：∵∠BAC=90°，

∴∠BAD+∠EAC=90°，

又∵BD⊥AE，CE⊥AE，

∴∠BDA=∠AEC=90°，∠BAD+∠ABD=90°，

·∴∠ABD=∠EAC，

又∵AB=AC，

∴△ABD≌△CAE，

∴BD=AE，AD=CE，

又∵AE=DE-AD

. ∴BD=DE-CE.

(3) BD=DE-CE,理由如下：

如图3：∵∠BAC=90°，

∴∠BAD+∠EAC=90°，

又∵BD⊥AE，CE⊥AE，

∴∠BDA=∠AEC=90°，∠BAD+∠ABD=90°，

·∴∠ABD=∠EAC，

又∵AB=AC，

∴△ABD≌△CAE，

∴BD=AE，AD=CE，

又∵AE=DE-AD=DE-CE，

. ∴BD=DE-CE.

同理可得，DE=BD+CE；（3）同理可得，DE=BD+CE.