Question

【题目】如图，在菱形ABCD中，∠A=60°，E、F分别是AB、AD的中点，DE、BF相交于点G，连接BD、CG．给出以下结论，其中正确的有（　　）
①∠BGD=120°；②BG+DG=CG；③△BDF≌△CGB；④S△ADE=AB2 ．

A.1个
B.2个
C.3个
D.4个

Answer 1

【答案】B
【解析】解：∵四边形ABCD为菱形，
∴AD=AB，且∠A=60°，
∴△ABD为等边三角形，
又∵E、F分别是AB、AD的中点，
∴DE⊥AB，BF⊥AD，
∴∠GFA=∠GEA=90°，
∴∠BGD=∠FGE=360°﹣∠A﹣∠GFA﹣∠GEA=120°，
∴①正确；
∵四边形ABCD为菱形，
∴AB∥CD，AD∥BC，
∴∠CDG=∠CBG=90°，
在Rt△CDG和Rt△CBG中，
，
∴Rt△CDG≌Rt△CBG（HL），
∴DG=BG，∠DCG=∠BCG=∠DCB=30°，
∴DG=BG=CG，
∴DG+BG=CG，
∴②正确；
在Rt△BDF中，BD为斜边，在Rt△CGB中，CG为斜边，
且BD=BC，在Rt△CGB中，显然CG＞BC，即CG＞BD，
∴△BDF和△CGB不可能全等，
∴③不正确；
∵△ABD为等边三角形，
∴S△ABD=AB2 ，
∴S△ADE=S△ABD=AB2 ，
∴④不正确；
综上可知正确的只有两个，
故选B．
【考点精析】关于本题考查的菱形的性质，需要了解菱形的四条边都相等；菱形的对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角；菱形被两条对角线分成四个全等的直角三角形；菱形的面积等于两条对角线长的积的一半才能得出正确答案．