Question

【题目】如图，△ABE是⊙O的内接三角形，AB为直径，过点B的切线与AE的延长线交于点C，D是BC的中点，连接DE，连接CO，线段CO的延长线交⊙O于F，FG⊥AB于G．

（1）求证：DE是⊙O的切线；

（2）若AE=4，BE=2，求AG的长．

Answer 1

【答案】（1）证明见解析；（2）AG= ﹣．

【解析】试题分析：（1）连接OE，OD，根据全等三角形的性质得到∠OED=∠OBD，由BC是⊙O的切线，得到∠OBD=90°，于是得到结论；

（2）由AB为⊙O的直径，得到∠AEB=90°，根据勾股定理得到AB==2 ，求得OF=OB=根据相似三角形的性质得到BC= =，根据勾股定理到OC===，根据相似三角形的性质即可得到结论．

试题解析：（1）连接OE，OD，

在△OED与△OBD中， ，∴△OED≌△OBD，∴∠OED=∠OBD，

∵BC是⊙O的切线，∴∠OBD=90°，∴∠OED=90°，∴OE⊥ED，

∴DE是⊙O的切线；

（2）∵AB为⊙O的直径，∴∠AEB=90°，∴AB==2，∴OF=OB=，

∵△AEB∽△BEC，∴ ，∴BC= =，∴OC===，

∵∠AOF=∠BOC，∵FG⊥AB，∴∠FGO=90°，∴∠FGO=∠OBC=90°，

∴△OFG∽△OBC，∴ ，∴OG=﹒OB= ，

∴AG=AO﹣OG=﹣．