Question

【题目】如图，在△ABC中，AB=AC，∠A=36°，DE是AC的垂直平分线．

（1）求证：△BCD是等腰三角形；
（2）△BCD的周长是a，BC=b，求△ACD的周长（用含a，b的代数式表示）

Answer 1

【答案】
（1）证明：∵AB=AC，∠A=36°，

∴∠B=∠ACB= =72°，

∵DE是AC的垂直平分线，

∴AD=DC，

∴∠ACD=∠A=36°，

∵∠CDB是△ADC的外角，

∴∠CDB=∠ACD+∠A=72°，

∴∠B=∠CDB，

∴CB=CD，

∴△BCD是等腰三角形

（2）解：∵AD=CD=CB=b，△BCD的周长是a，

∴AB=a﹣b，

∵AB=AC，

∴AC=a﹣b，

∴△ACD的周长=AC+AD+CD=a﹣b+b+b=a+b

【解析】（1）根据等腰三角形的性质得出∠B=∠ACB=72°，根据中垂线的性质得出AD=DC，根据等边对等角得出∠ACD=∠A=36°，根据三角形的外角和定理得出∠CDB=∠ACD+∠A=72°，从而得出∠B=∠CDB，即△BCD是等腰三角形 ；
（2）根据AD=CD=CB=b，△BCD的周长是a，得出AB=AC=a﹣b，从而得出△ACD的周长=AC+AD+CD=a﹣b+b+b=a+b 。