Question

【题目】如图，直线y=2x+3与x轴交于点A，与y轴交于点B，D是射线AB上的动点（不与点A重合），DN⊥x轴于N，把△AND沿直线AB翻折，得到△AMD，延长MA交y轴于点C，过A、C、D三点的圆E与x轴交于点F，连结DF．
（1）直接写出tan∠BAO的值为；
（2）求证：MC=NF；
（3）求线段OC的长；
（4）是否存在点D，使DF∥AC？若存在，求点D的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】
（1）2
（2）解：连接DC，则∠MCD=∠NFD，

在△MCD与△DNF中， ，

∴△MCD≌△NFD，

∴MC=NF；

（3）解：作CG⊥y轴于G，

∵CG∥x轴，

∴∠AGC=∠DAF，

∵∠GAC=∠MAD=∠DAF，

∴∠AGC=∠GAC，

∴GC=AC，

设GC=a，

∵tan∠BAO=tan∠BGC=2，

∴BC=2a，

∴OC=2a﹣3，

∵AO2+OC2=AC2，

∴1.52+（2a﹣3）2=a2，

解得：a= ，a= （舍去），

∴线段OC的长是2；

（4）解：存在，理由：设D（m，2m+3）

当DF∥AC时，∠DFA=∠FAC，

由（3）知，tan∠CAO= ，

∴tan∠DFA= ，

∵DN=2m+3，

∴NF= （2m+3），

∵MA=AN= +m，AC= = ，

∴NF=MC=AC+AM= +m+ =4+m= （2m+3），

解得：m= ，

∴存在点D（ ，10）．

【解析】解：（1）在y=2x+3中，令y=0，得x=﹣ ，令x=0，得y=3， ∴A（﹣ ，0），B（0，3），
∴OA= ，OB=3，
∴tan∠BAO= =2；
所以答案是：2；