Question

【题目】在平面直角坐标系中，如果点P（x，y）的坐标满足x+y=xy，那么称P为和谐点．
（1）若点A（a，2）是正比例函数y=kx（k≠0，k为常数）上的一个和谐点，求这个正比例函数的解析式；
（2）试判断函数y=﹣2x+1的图象上是否存在和谐点？若存在，求出和谐点的坐标；若不存在，请说明理由；
（3）直线l：y=kx+2经过和谐点P，且与反比例函数G：y=﹣ 交于M、N两点，若点P的纵坐标为3，求出直线l的解析式，并在x轴上找一点Q使得QM+QN最小．

Answer 1

【答案】
（1）

解：∵点A（a，2）是正比例函数y=kx（k≠0，k为常数）上的一个和谐点，

∴a+2=2a，

∴a=2，

∴A（2，2），

∴2=2k，

∴k=1，

∴正比例函数的解析式为y=x

（2）

解：不存在．理由如下，

设M（a，b）是函数y=﹣2x+1的图象上和谐点，

则有 ，消去b得，a﹣2a+1=a（﹣2a+1），整理得2a2﹣2a+1=0，

∵△=4﹣8=﹣4＜0，

∴方程无解，

∴函数y=﹣2x+1的图象上不存在和谐点

（3）

解：由题意假设P（x，3），则x+3=3x，

∴x= ，

∴P（ ，3），代入y=kx+2得3= k+2，

∴k= ，

∴直线l的解析式的解析式为y= x+2，

由 解得 或 ，

不妨设M（﹣1， ），N（﹣2， ），如图，作点N关于x轴的对称点N′，连接MN′交x轴于Q，此时NQ+QM最小．

∵N′（﹣2，﹣ ），M（﹣1， ），

∴直线MN′的解析式为y=2x+ ，

令y=0得到，x=﹣ ，

∴点Q的坐标为（﹣ ，0）

【解析】（1）根据和谐点，列出方程求出a以及点A坐标，即可解决问题．（2）不存在．设M（a，b）是函数y=﹣2x+1的图象上和谐点，则有 ，消去b得，a﹣2a+1=a（﹣2a+1），整理得2a2﹣2a+1=0，由△=4﹣8=﹣4＜0，可知方程无解，由此即可判断．（3）首先根据和谐点的定义求出点P的坐标，即可求出直线l的解析式，利用方程组求出点M、N的坐标，如图，作点N关于x轴的对称点N′，连接MN′交x轴于Q，此时NQ+QM最小．求出直线N′M的解析式即可解决问题．