Question

【题目】如图1，已知矩形ABCD，E为AD边上一动点，过A，B，E三点作⊙O，P为AB的中点，连接OP，
（1）求证：BE是⊙O的直径且OP⊥AB；
（2）若AB=BC=8，AE=6，试判断直线DC与⊙O的位置关系，并说明理由；
（3）如图2，若AB=10，BC=8，⊙O与DC边相交于H，I两点，连结BH，当∠ABE=∠CBH时，求△ABE的面积．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵矩形ABCD，∴∠A=90°，∴BE为直径，

∴OE=OB，

∵AP=BP，

∴OP//AE，AE=2PO，

∴∠OPB=∠A=90°，

即OP⊥AB．

（2）解：此时直线CD与⊙O相切

理由：如图1，延长PO交CD于M，

在Rt△ABE中，AB=8，AE=6，

则BE2=62+82=100，

∴BE=10，

∴此时⊙O的半径r=5，∴OM=r=5，

∵在矩形APMD中，PM=AD=8，

∴OM=PM﹣OP=5=r，

∴直线CD与⊙O相切

（3）解：【方法I】如图2，

∵BE为直径，

∴∠EHB=90°，

∴∠3+∠4=90°，

∵∠C=90°，

∴∠3+∠2=90°，

∴∠2=∠4，

∴当∠1=∠2时，有

tan∠1=tan∠2=tan∠4，

设AE=x，CH=y，则DE=8﹣x，DH=10﹣y，

∴ = = ，

解得，x=20，或x=5，

∵AE=x＜8，∴x=20，不合题意，舍去，取AE=x=5，

Rt△ABE的面积= AE×AB= ×5×10=25．

【方法II】如图3，延长PO交CD于点F，连接OH，

在矩形FPBC，OP⊥AB，且FC=PB= AB=5，

OP= AE，OF=8﹣ AE，BE=2HO，

当∠ABE=∠CBH时，设tan∠ABE=tan∠CBH=k时，

在Rt△ABE中，则AE=10tan∠ABE=10k，

在Rt△HBC中，则HC=8tan∠ABE=8k，

∴OP=5k，OF=8﹣5k，FH=5﹣8k，

在Rt△ABE中，BE2=AE2+AB2=100（1+k2），

在Rt△OFH中，HO2=FH2+OF2=（5﹣8k）2+（8﹣5k）2，

∵BE=2HO，∴BE2=4 HO2

∴100（1+k2）=4[（5﹣8k）2+（8﹣5k）2]，

整理得，2 k2﹣5k+2=0，

解得，k=2，或k= ，

当k=2时，AE=10k=20＞8，不合题意，舍去；

当k= 时，AE=10k=5＜8，符合题意，

此时，Rt△ABE的面积= AE×AB= ×5×10=25

【解析】（1）利用矩形的性质以及平行线分线段成比例定理得出OP//AE，AE=2PO，即可得出答案；（2）首先延长PO交CD于M，求出MO的长等于半径，进而得出答案；（3）根据题意当∠1=∠2时，可得出tan∠1=tan∠2=tan∠4，设AE=x，CH=y，则DE=8﹣x，DH=10﹣y，可得 = = ，求出x的值，即可得出答案．