Question

【题目】如图，△ABC中，∠C=90°，AB=10cm，BC=6cm，若动点P从点C开始，按C→A→B→C

的路径运动，且速度为每秒1cm，设出发的时间为t秒．

（1）出发2秒后，求△ABP的周长．

（2）当t为几秒时，BP平分∠ABC

（3）问t为何值时，△BCP为等腰三角形？

Answer 1

【答案】（1）16+2;（2）3;（3）6s或13s或12s或 10.8s.

【解析】分析：（1）利用勾股定理得出AC=8cm，进而表示出AP的长，由勾股定理求出PB，进而得出答案；（2）过点P作PD⊥AB于点D，由HL证明Rt△BPD≌Rt△BPC，得出BD=BC=6cm，因此BD=10-6=4cm，设PC=x cm，则PA=（8-x）cm，由勾股定理得出方程，解方程即可；（3）利用分类讨论的思想和等腰三角形的特点及三角形的面积求出答案．

本题解析：

(1)∵∠C=90，AB=10cm，BC=6cm，∴有勾股定理得AC=8cm，动点P从点C开始，按的路径运动，且速度为每秒1cm

∴出发2秒后，则CP=2cm，那么AP=6cm.

∵∠C=90°，

∴由勾股定理得PB=2cm

∴△ABP的周长为：AP+PB+AB=6+10+2=(16+2)cm；

(2)如图2所示，过点P作PD⊥AB于点D，

∵BP平分∠ABC,∴PD=PC.

在Rt△BPD与Rt△BPC中, ，

∴Rt△BPD≌Rt△BPC(HL)，

∴BD=BC=6 cm，

∴AD=106=4 cm.

设PC=x cm,则PA=(8x)cm

在Rt△APD中,PD+AD=PA，

即x+4=(8x)，

解得：x=3，

∴当t=3秒时，AP平分∠CAB；

(3)若P在边AC上时，BC=CP=6cm，

此时用的时间为6s，△BCP为等腰三角形；

若P在AB边上时，有两种情况：

①若使BP=CB=6cm，此时AP=4cm，P运动的路程为12cm，

所以用的时间为12s，故t=12s时△BCP为等腰三角形；

②若CP=BC=6cm，过C作斜边AB的高，根据面积法求得高为4.8cm，

根据勾股定理求得BP=7.2cm，

所以P运动的路程为187.2=10.8cm，

∴t的时间为10.8s，△BCP为等腰三角形；

③若BP=CP时，则∠PCB=∠PBC，

∵∠ACP+∠BCP=90°,∠PBC+∠CAP=90°，∴∠ACP=∠CAP，∴PA=PC

∴PA=PB=5cm

∴P的路程为13cm，所以时间为13s时，△BCP为等腰三角形。

∴t=6s或13s或12s或 10.8s 时△BCP为等腰三角形。