Question

【题目】如图，正方形ABCD中，AB＝，点E、F分别在BC、CD上，且∠BAE＝30°，∠DAF＝15度．

（1）求证：DF＋BE＝EF；

（2）求∠EFC的度数；

（3）求△AEF的面积．

Answer 1

【答案】（1）见解析 （2）30° （3）

【解析】试题分析：

（1）延长EB至点G，使BG=DF，连接AG，由已知条件易证△ABG≌△ADF，再证△FAE≌△GAE，即可得到EF=EG=GB+BE=DF+BE；

（2）由在△ADF中，∠D=90°，∠DAF=15°，可得∠AFD=90°-15°=75°，结合△ABG≌△ADF，△AGE≌△AFE，可得AFE＝∠AGE＝∠AFD=75°，由此即可得到∠EFC=30°；

（3）在△ABE中由已知条件易得BE=1，CE=，结合△EFC中∠EFC=30°，∠C=90°，可得CF=，由此即可求得△ECF的面积；由△ABG≌△ADF，△FAE≌△GAE，结合由S△AEF＝S正方形ABCD－S△ADF－S△AEB－S△CEF，即可得到S△AEF＝(S正方形ABCD－S△CEF)，由此即可求得△AEF的面积了.

试题解析：

（1）延长EB至G，使BG＝DF，连接AG，

∵正方形ABCD，

∴AB＝AD，∠ABG＝∠ADF＝∠BAD＝90°，

∵BG＝DF，

∴△ABG≌△ADF，

∴AG＝AF，

∵∠BAE＝30°，∠DAF＝15°，

∴∠FAE＝∠GAE＝45°，

∵AE＝AE，

∴△FAE≌△GAE，

∴EF＝EG＝GB＋BE＝DF＋BE；

（2）∵在△ADF中，∠D=90°，∠DAF=15°，

∴∠AFD=90°-15°=75°，

∵△ABG≌△ADF，△AGE≌△AFE，

∴∠AFE＝∠AGE＝∠AFD=75°，

∴∠EFC＝180°－∠DFA－∠AFE＝180°－75°－75°＝30°；

（3）∵AB＝BC＝，∠BAE＝30°，

∴BE＝1，CE＝－1，

∵∠EFC＝30°，

∴CF＝3－，

∴S△CEF＝CECF＝2－3，

由（1）知，△ABG≌△ADF，△FAE≌△GAE，

∴S△AEF＝S正方形ABCD－S△ADF－S△AEB－S△CEF＝S正方形ABCD－S△AEF－S△CEF，

∴S△AEF＝（S正方形ABCD－S△CEF）＝ 3－．