Question

【题目】如图，△ABC中，∠ABC和∠ACB的角平分线BE、CF相交于点I，

（1）∠BIC＝120°,求∠A的度数

（2）当∠BIC＝135°，则∠A= 。

（3）请你用数学表达式归纳出∠BIC与∠A的关系式，并说明理由。

Answer 1

【答案】（1）60° （2）120° （3）∠BIC=90°+∠A.或∠A =2∠BIC - 180°

【解析】试题（1）根据题目给出的数据，可以知道∠A=;(2)总结上述的规律可得出∠A的值；（3）根据三角形的内角和定理用 ∠A表示出

∠ABC+∠ACB，再根据角平分线的定义表示出∠IEC+∠ICE，然后再利用三角形内角和定理即可得出结论．

试题解析：

（1）由题意得，∵∠BIC是△CEI的外角，

∴∠BIC=∠IEC+∠ICE(三角形外角定理)，

∵∠IEC是△ABE的外角，

∴∠IDC=∠A+∠ABD(三角形外角定理)，

∵BI、CI是∠ABC、∠ACB的平分线，

∴∠ABE= ∠ABC,∠ICE=∠ACB(角平分线定义)，

∴∠BIC= (∠ABC+∠ACB)+∠A= (∠A)+∠A=+∠A

（2）由题意得，∵∠BIC是△CEI的外角，

∴∠BIC=∠IEC+∠ICE(三角形外角定理)，

∵∠IEC是△ABE的外角，

∴∠IDC=∠A+∠ABD(三角形外角定理)，

∵BI、CI是∠ABC、∠ACB的平分线，

∴∠ABE= ∠ABC,∠ICE=∠ACB(角平分线定义)，

∴∠BIC= (∠ABC+∠ACB)+∠A= (∠A)+∠A=+∠A

(3) 根据上述规律可得，∠BIC=90°+∠A.或∠A =2∠BIC - 180°

理由如下：

∵∠BIC是△CEI的外角，

∴∠BIC=∠IEC+∠ICE(三角形外角定理)，

∵∠IEC是△ABE的外角，

∴∠IDC=∠A+∠ABD(三角形外角定理)，

∵BI、CI是∠ABC、∠ACB的平分线，

∴∠ABE= ∠ABC,∠ICE=∠ACB(角平分线定义)，

∴∠BIC= (∠ABC+∠ACB)+∠A= (∠A)+∠A=+∠A.