Question

【题目】如图，已知AB是O的直径，点C在O上，过点C的直线与AB的延长线交于点P，AC=PC，∠COB=2∠PCB.

(1)求证：PC是O的切线；

(2)求证： ；

(3)点M是弧AB的中点，CM交AB于点N，若AB=4，求MN·MC的值.

Answer 1

【答案】（1）（2）见解析（3）8

【解析】试题分析：（1）已知C在圆上，故只需证明OC与PC垂直即可；根据圆周角定理，易得∠PCB+∠OCB=90°，即OC⊥CP，故PC是⊙O的切线；

（2）AB是直径；故只需证明BC与半径相等即可；

（3）连接MA，MB，由圆周角定理可得∠ACM=∠BCM，进而可得△MBN∽△MCB，故BM2=MNMC，代入数据可得MNMC=BM2=8．

试题解析：（1）∵OA=OC，∴∠A=∠ACO，

又∵∠COB=2∠A，∠COB=2∠PCB，∴∠A=∠ACO=∠PCB，

又∵AB是⊙O的直径，∴∠ACO+∠OCB=90°，∴∠PCB+∠OCB=90°，

即OC⊥CP，

∵OC是⊙O的半径，∴PC是⊙O的切线；

（2）∵AC=PC，∴∠A=∠P，∴∠A=∠ACO=∠PCB=∠P．

又∵∠COB=∠A+∠ACO，∠CBO=∠P+∠PCB，∴∠COB=∠CBO，∴BC=OC，

∴；

（3）连接MA，MB，

∵点M是弧AB的中点，∴ 弧AM=弧BM，∴∠ACM=∠BCM，

∵∠ACM=∠ABM，∴∠BCM=∠ABM，

∵∠BMN=∠BMC，∴△MBN∽△MCB，∴ ，∴，

又∵AB是⊙O的直径，弧AM=弧BM，

∴∠AMB=90°，AM=BM，

∵AB=4，∴，

∴．