Question

【题目】已知方程x2+2kx+k2﹣2k+1=0有两个实数根x1 ， x2 ．
（1）求实数k的取值范围；
（2）若x12+x22=4，求k的值．

Answer 1

【答案】
（1）解：根据题意得△=（2k）2﹣4（k2﹣2k+1）=8k﹣4≥0，

解得k≥ ；

（2）解：根据题意得x1+x2=﹣2k，x1x2=k2﹣2k+1，

∵x12+x22=4，

∴（x1+x2）2﹣2x1x2=4

∴4k2﹣2（k2﹣2k+1）=4，

整理得k2+2k﹣3=0，解得k1=﹣3，k2=1，

而k≥

∴k=1．

【解析】（1）根据判别式的意义得到△=（2k）2﹣4（k2﹣2k+1）=8k﹣4≥0，然后解不等式即可；（2）根据根与系数的关系得到x1+x2=﹣2k，x1x2=k2﹣2k+1，再利用完全平方公式由x12+x22=4得到（x1+x2）2﹣2x1x2=4，则4k2﹣2（k2﹣2k+1）=4，然后解关于k的方程，最后利用k的范围可确定满足条件的k的值．
【考点精析】关于本题考查的求根公式和根与系数的关系，需要了解根的判别式△=b2-4ac，这里可以分为3种情况：1、当△>0时，一元二次方程有2个不相等的实数根2、当△=0时，一元二次方程有2个相同的实数根3、当△<0时，一元二次方程没有实数根；一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根由方程的系数a、b、c而定；两根之和等于方程的一次项系数除以二次项系数所得的商的相反数；两根之积等于常数项除以二次项系数所得的商才能得出正确答案．