Question

【题目】如图，在平面直角坐标系中，直线AB与x轴，y轴分别交于点A（﹣4，0），B（0，3），动点P从点O出发，沿x轴负方向以每秒1个单位的速度运动，同时动点Q从点B出发，沿射线BO方向以每秒2个单位的速度运动，过点P作PC⊥AB于点C，连接PQ，CQ，以PQ，CQ为邻边构造平行四边形PQCD，设点P运动的时间为t秒．
（1）当点Q在线段OB上时，用含t的代数式表示PC，AC的长；
（2）在运动过程中． ①当点D落在x轴上时，求出满足条件的t的值；
②若点D落在△ABO内部（不包括边界）时，直接写出t的取值范围；
（3）作点Q关于x轴的对称点Q′，连接CQ′，在运动过程中，是否存在某时刻使过A，P，C三点的圆与△CQQ′三边中的一条边相切？若存在，请求出t的值；若不存在，请说明理由．#D．

Answer 1

【答案】
（1）解：如图1中，

∵OA=3，OB=4，

∴AB= = =5，

在Rt△ACP中，PA=4﹣t，

∵sin∠OAB= = ，

∴PC= （4﹣t），

∵cos∠OAB= = ，

∴AC= （4﹣t）

（2）解：①当D在x轴上时，如图2中，

∵QC∥OA，

∴ = ，

∴ = ，

解得t= ．

∴t= s时，点D在x轴上，

②如图，

∵PQ∥AB，

∴ = ，

∴ = ，

∴t= ，

综上所述，当 ＜t＜ 时，点D落在△ABO内部（不包括边界）

（3）解：如图3中，作QN⊥BC于N，

∵Q（0，3﹣2t），Q′（0，2t﹣3），

当QC与⊙M相切时，则QC⊥CM，

∴∠QCM=90°，∴∠QCP+∠PCM=90°，∵∠QCP+∠QCB=90°，

∴∠BCQ=∠PCM=∠CPM，

∵∠CPM+∠PAC=90°，∠OBA+∠OAB=90°，

∴∠APC=∠OBA，∴∠QBC=∠QCB，

∴BQ=CQ，

∵cos∠ABO= = ，

∴ = ，

解得t= ，

当CQ′是⊙M切线时，同法可得 = ，

解得t= ，

∴t= s或 时，过A，P，C三点的圆与△CQQ′三边中的一条边相切

【解析】（1）利用三角函数sin∠OAB= = ，cos∠OAB= = ，列出关系式即可解决问题．（2）①当D在x轴上时，如图2中，由QC∥OA，得 = ，由此即可解决问题．②当点D在AB上时，如图3中，由PQ∥AB，得 = ，求出时间t，求出①②两种情形时的△POQ的面积即可解决问题．（3）如图4中，当QC与⊙M相切时，则QC⊥CM，首先证明QB=QC，作QN∠BC于N，根据cos∠ABO= = ，列出方程即可解决问题，当CQ′是⊙M切线时，方法类似．