Question

【题目】如图，在四边形ABCD中，AD//BC，∠A=∠C，CD=2AD，BE⊥AD于点E，F为CD的中点，连接EF、BF．

（1）求证：四边形ABCD是平行四边形；

（2）求证：BF平分∠ABC；

（3）请判断△BEF的形状，并证明你的结论.

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）ΔBEF为等腰三角形，见解析.

【解析】

（1）由平行线的性质得出∠A+∠ABC=180°，由已知得出∠C+∠ABC=180°，证出AB//BC，即可得出四边形ABCD是平行四边形；

（2）由平行四边形的性质得出BC=AD，AB//CD，得出∠CFB=∠ABF，由已知得出CF=BC，得出∠CFB=∠CBF，证出∠ABF=∠CBF即可；

（3）作FG⊥BE于G，证出FG/AD//BC，得出EG=BG，由线段垂直平分线的性质得出EF=BF即可.

解：(1)证明：∵AD∥BC，

∴∠A+∠ABC=180°：

∵∠A=∠C

∴∠C+∠ABC=180°

∴AB∥CD

∴四边形ABCD是平行四边形

（2）证明：

∵F点为CD中点

∴CD=2CF

∴CD=2AD

∴CF=AD=BC

∴∠CFB=∠CBF

∴CD∥AB

∴∠CFB=∠FBA

∴∠FBA=∠CBF

∴BF平分∠ABC

(3)ΔBEF为等腰三角形

理由：如图，延长EF交B延长线于点G

∴DA∥BG

∴∠G=∠DEF

∵F为DC中点

∴DF=CF

又∵∠DFE=∠CFG

∴ΔDFE≌ΔCFG(AAS)

∴FE=FG

∵AD∥BC，BE⊥AD

∴BE⊥CD

∴∠EBG=90°

在RtΔEBG中，F为BG中点

∴BF=EG=EF

∴ΔBEF为等腰三角形。