Question

【题目】如图，AB是⊙O的直径，点P是y轴正半轴上的一点，⊙O与y轴正半轴交于点C，PB交⊙O于点D，点D是劣弧的中点，AB=．

（1）求 P点的坐标及的值；

（2）求证：DP2=OP·CP.

Answer 1

【答案】（1）点P的坐标为（0， ），1；（2）证明见解析.

【解析】分析：(1) 作DF⊥OB, DE⊥OC,由题中条件得出△PED∽△POB，而后求出点P的坐标，再利用解直角三角形得出结果.(2)用(1)的方法可得△PCD∽△PDO 从而求解.

本题解析：(1)如图, 作DF⊥OB, DE⊥OC,垂足分别为F、E

∵点D是劣弧的中点，∴∠EOD=45°

在Rt△DEO中DO=,∴DE=EO=1

∵ED∥OB，∴△PED∽△POB

∴∴

∴

∴

∴点P的坐标为（0， ）,

∵∠DOF=∠EOD=45°,OD=OB

∴∠OBD=∠ODB=

∴∠OPB=90O-67.5O=22.5O

∴= ,

(2) 同上：∠OCD=∠ODC=

∴∠PCD=180O-67.5O=122.5O，

∠PDO=180O-∠ODB= 180O-67.5O=122.5O，

∴△PCD∽△PDO

∴

∴DP2=OP·CP;