Question

【题目】如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AD是角平分线，DE⊥AD交AB于E，△ADE的外接圆⊙O与边AC相交于点F，过F作AB的垂线交AD于P，交AB于M，交⊙O于G，连接GE．
（1）求证：BC是⊙O的切线；
（2）若tan∠G= ，BE=4，求⊙O的半径；
（3）在（2）的条件下，求AP的长．

Answer 1

【答案】
（1）证明：连结OD，

∵DE⊥AD，

∴AE是⊙O的直径，即O在AE上，

∵AD是角平分线，

∴∠1=∠2，

∵OA=OD，

∴∠2=∠3，

∴∠1=∠3，

∴OD∥AC，

∵∠C=90°，

∴OD⊥BC．

∴BC是⊙O的切线

（2）解：∵OD∥AC，

∴∠4=∠EAF，

∵∠G=∠EAF，

∴∠4=∠G，

∴tan∠4=tan∠G= ，

设BD=4k，则OD=OE=3k，

在Rt△OBD中，由勾股定理得（3k）2+（4k）2=（3k+4）2，

解得，k1=2，k2= （舍），（注：也可由OB=5k=3k+4得k=2），

∴3k=6，即⊙O的半径为6；

（3）解：连结AG，则∠AGE=90°，∠EGM=∠5．

∴tan∠5=tan∠EGM= ，

即 ， ，

∴ ，

∴AM= AE= = ，

∵OD∥AC，

∴ ， ，

即 ， ．

∴AC= ，CD= ，

∵∠1=∠2，∠ACD=∠AMP=90°，

∴△ACD∽△AMP．

∴ ，

∴PM= = ．

∴AP= =

【解析】（1）连结OD，根据AD是角平分线，求出∠C=90°，得到OD⊥BC，求出BC是⊙O的切线；（2）构造直角三角形，根据勾股定理求出k的值即可；（3）设FG与AE的交点为M，连结AG，利用三角函数和相似三角形结合勾股定理解题．