Question

【题目】如图，已知∠BAC=90°，AD⊥BC于D，E是AC的中点，ED的延长线交AB的延长线于点F．求证：

（1）△DFB∽△AFD；

（2）AB：AC=DF：AF．

Answer 1

【答案】（1）详见解析；（2）详见解析.

【解析】试题分析：（1）由已知条件得到∠BAC=∠ADB=，根据余角的性质得到∠BAD=∠C，由直角三角形的性质和对顶角相等得到∠BAD=∠BDF，即可得到结论；
（2）根据已知条件推出△ABD∽△CAD；于是得到由于△DFB∽△AFD；于是得到

等量代换即可得到结论．

试题解析：(1)∵∠BAC=，AD⊥BC于D，

∴∠BAC=∠ADB=，

∴∠BAD+∠ABD=∠ABD+∠C=，

∴∠BAD=∠C，

∵E是AC的中点，

∴DE=CE，

∴∠C=∠EDC，

∵∠EDC=∠BDF，

∴∠BAD=∠BDF，

∵∠F=∠F，

∴△DFB∽△AFD；

(2)∵AD⊥BC，

∴∠ADB=∠ADC=，

∴∠BAD+∠DAC=,∠DAC+∠ACD=，

∴∠BAD=∠ACD，

∵∠ADB=∠ADC，

∴△ABD∽△CAD；

∴

∵△DFB∽△AFD；

∴

∴AB:AC=DF:AF.