Question

【题目】已知扇形OAB的半径为r，C为上的任一点（不与A、B重合），CM⊥OA，垂足为M，CN⊥OB，垂足为N，连接MN．

（1）如图①，∠AOB＝90°，求证MN＝r；

（2）如图②，∠AOB＝45°，探索MN与r的数量关系．

Answer 1

【答案】（1）证明见解析（2）r

【解析】试题分析： 连接OC，四边形OMCN是矩形,即可得证.

以O为圆心，OA为半径画⊙O，证明MN是△CPQ的中位线,即可得出结果.

试题解析： 证明：连接OC，

∵CM⊥OA， CN⊥OB，

∴∠CMO＝∠CNO＝90°，

又∠AOB＝90°，

∴四边形OMCN是矩形．

∴MN＝OC＝r .

以O为圆心，OA为半径画⊙O，

延长CM，CN分别与⊙O交于点P，Q，连接OP，OQ ，PQ，OC

∵OA⊥PC,∴PA＝AC，

同理CN＝NQ，

∴∠POA＝∠COA，∠QOB＝∠COB,

∴∠POQ＝2∠AOB＝90°,

在△CPQ中,MN是△CPQ的中位线,

.

在Rt△OPQ中