Question

【题目】在△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，点D在射线BC上（与B、C两点不重合），以AD为边作正方形ADEF，使点E与点B在直线AD的异侧，射线BA与直线CF相交于点G．

（1）若点D在线段BC上，如图（1），判断：线段BC与线段CG的数量关系：　 　，位置关系：　 　．

（2）如图（2），①若点D在线段BC的延长线上，（1）中判断线段BC与线段CG的数量关系与位置关系是否仍然成立，并说明理由；

②当G为CF中点，连接GE，若AB=，求线段GE的长．

Answer 1

【答案】(1) BC=CG，BC⊥CG (2) ①仍然成立 ②

【解析】分析：（1）根据等腰直角三角形的性质得到∠ACB=∠ABC=45°，由正方形的性质得到AD=AF，∠DAF=90°，由角的和差得到∠BAD=∠CAF，推出△BAD≌△CAF（SAS），根据全等三角形的性质得到∠ACF=∠B=45°，BD=CF，证得BC⊥CG，同理△ADC≌△AFG，即可得到结论；

（2）①根据等腰直角三角形的性质得到∠ACB=∠ABC=45°，由正方形的性质得到AD=AF，∠DAF=90°，由角的和差得到∠BAD=∠CAF，推出△BAD≌△CAF（SAS），根据全等三角形的性质得到∠ACF=∠B=45°，BD=CF，证得BC⊥CG，同理△ADC≌△AFG，即可得到结论；②与①同理，可得BD=CF，BC=CG，BC⊥CG，根据已知条件得到BC=CG=FG=CD=2，如图（2），过点A作AM⊥BD于M，根据勾股定理得到AD=，过点E作EN⊥FG于N，根据全等三角形的性质得到FG=AM=1，推出NE为FG的垂直平分线，即可得到结论．

详解：（1）BC=CG，BC⊥CG．

∵∠BAC=90°，AB=AC，∴∠ACB=∠ABC=45°．

∵四边形ADEF是正方形，∴AD=AF，∠DAF=90°．

∵∠BAD=90°﹣∠DAC，∠CAF=90°﹣∠DAC，∴∠BAD=∠CAF，则在△BAD和△CAF中，，∴△BAD≌△CAF（SAS），∴∠ACF=∠B=45°，BD=CF，∴∠BCF=∠ACB+∠ACF=90°，∴BC⊥CG，同理△ADC≌△AFG，∴CD=GF，∴BD+CD=CF+GF，即BC=CG．

故答案为：BC=CG，BC⊥CG；

（2）①仍然成立

∵四边形ADEF是正方形，∴AD=AF，∠DAF=90°．

∵∠BAD=90°﹣∠DAC，∠CAF=90°﹣∠DAC，∴∠BAD=∠CAF，则在△BAD和△CAF中，，∴△BAD≌△CAF（SAS），∴∠ACF=∠B=45°，BD=CF，∴∠BCF=∠ACB+∠ACF=90°，∴BC⊥CG，同理△ADC≌△AFG，∴CD=GF，∴BD+CD=CF+GF，即BC=CG；

②与①同理，可得BD=CF，BC=CG，BC⊥CG．

∵AB=，G为CF中点，∴BC=CG=FG=CD=2，如图（2），过点A作AM⊥BD于M，∴AM=1，MD=3，∴AD=，过点E作EN⊥FG于N．在△AMD与△FNE中，，∴△AMD≌△FNE，∴FN=AM=1，∴FG=2FN，∴NE为FG的垂直平分线，即GE=FE=AD=．