Question

【题目】东坡商贸公司购进某种水果的成本为20元/kg，经过市场调研发现，这种水果在未来48天的销售单价p（元/kg）与时间t（天）之间的函数关系式为p= 且其日销售量y（kg）与时间t（天）的关系如表：

时间t（天）	1	3	6	10	20	40	…
日销售量y（kg）	118	114	108	100	80	40	…

（1）已知y与t之间的变化规律符合一次函数关系，试求在第30天的日销售量是多少？
（2）问哪一天的销售利润最大？最大日销售利润为多少？
（3）在实际销售的前24天中，公司决定每销售1kg水果就捐赠n元利润（n＜9）给“精准扶贫”对象．现发现：在前24天中，每天扣除捐赠后的日销售利润随时间t的增大而增大，求n的取值范围．

Answer 1

【答案】
（1）

解：设y=kt+b，把t=1，y=118；t=3，y=114代入得到：

解得 ，

∴y=﹣2t+120．

当t=30时，y=60

即第30日的日销量为60千克。

（2）

解：设第x天的销售利润为w元．

当1≤t≤24时，由题意w=（﹣2t+120）（ t+30﹣20）=﹣ （t﹣10）2+1250，

∴t=10时 w最大值为1250元．

当25≤t≤48时，w=（﹣2t+120）（（﹣ t+48﹣20）=t2﹣108t+2880，

∵对称轴x=54，a=1＞0，

∴在对称轴左侧w随x增大而减小，

∴x=25时，w最大值=805，

综上所述第10天利润最大，最大利润为1250元．

（3）

解：设每天扣除捐赠后的日销售利润为m元．

由题意m=（﹣2t+120）（ t+30﹣20）﹣（﹣2t+120）n=﹣ t2+（10+2n）t+1200﹣120n，

∵在前24天中，每天扣除捐赠后的日销售利润随时间t的增大而增大，

∴﹣ ≥24，

∴n≥7．

又∵n＜9，

∴n的取值范围为7≤n＜9．

【解析】此题主要考查了二次函数的应用，熟练掌握各函数的性质和图象特征，针对所给条件作出初步判断后需验证其正确性，最值问题需由函数的性质求解时，正确表达关系式是关键．（1）设y=kt+b，利用待定系数法即可解决问题．（2）日利润=日销售量×每公斤利润，据此分别表示前24天和后24天的日利润，根据函数性质求最大值后比较得结论．（3）列式表示前24天中每天扣除捐赠后的日销售利润，根据函数性质求n的取值范围．
【考点精析】认真审题，首先需要了解一次函数的性质(一般地，一次函数y=kx+b有下列性质：（1）当k>0时，y随x的增大而增大（2）当k<0时，y随x的增大而减小)．