Question

【题目】如图，△ACD和△BCE都是等腰直角三角形，∠ACD=∠BCE=90°，

（1）请判断线段AE和BD的数量关系和位置关系，并证明；

（2）若已知∠AED=135°，设∠AEC=α，当△BDE为等腰三角形时，求α的度数．

Answer 1

【答案】（1）AE=BD且AE⊥BD，理由见解析；（2）当△BDE为等腰三角形时，α的度数为112.5°、135°或90°．

【解析】试题分析：（1）根据和都是等腰直角三角形、即可得出再由角的计算即可得出利用全等三角形的判定定理SAS即可证出进而可得出延长AE，交CD于点H，交BD于点F，根据角的计算即可得出从而找出
（2）根据是等腰直角三角形即可得出结合即可找出由可得出进而得出再根据三角形内角和定理即可得出分以及三种情况考虑为等腰三角形，代入数据求出值，此题得解．

试题解析：(1)AE=BD且AE⊥BD，理由如下：

∵△ACD和△BCE都是等腰直角三角形,

∴AC=DC，EC=BC.

∴∠ACE=∠DCB.

在△ACE和△DCB中,

∴AE=DB，∠CAE=∠CDB.

延长AE，交CD于点H，交BD于点F，如图1所示。

∵∠AHD=∠CHF=∠CDB+∠DFH，∠AHD=∠CAE+∠ACD，

∴AE⊥BD.

(2)∵△BCE是等腰直角三角形,

在△DBE中,

△BDE为等腰三角形分三种情况：

①∠DEB=∠DBE,即

②∠DEB=∠EDB,即

③∠DBE=∠EDB,即

综上所述：当△BDE为等腰三角形时, 的度数为112.5°、135°或90°．