Question

【题目】如图，在平面直角坐标系中，点A，B的坐标分别为（﹣3，0），（0，6）．动点P从点O出发，沿x轴正方向以每秒1个单位的速度运动，同时动点C从点B出发，沿射线BO方向以每秒2个单位的速度运动，以CP，CO为邻边构造PCOD，在线段OP延长线上取点E，使PE=AO，设点P运动的时间为t秒．

（1）当点C运动到线段OB的中点时，求t的值及点E的坐标；
（2）当点C在线段OB上时，求证：四边形ADEC为平行四边形；
（3）在线段PE上取点F，使PF=1，过点F作MN⊥PE，截取FM=2，FN=1，且点M，N分别在一，四象限，在运动过程中，设PCOD的面积为S．
①当点M，N中有一点落在四边形ADEC的边上时，求出所有满足条件的t的值；
②若点M，N中恰好只有一个点落在四边形ADEC的内部（不包括边界）时，直接写出S的取值范围．

Answer 1

【答案】
（1）

解：∵OB=6，C是OB的中点，

∴BC= OB=3，

∴2t=3即t= ，

∴OE= +3= ，E（ ，0）

（2）

解：如图，连接CD交OP于点G，

在PCOD中，CG=DG，OG=PG，

∵AO=PE，

∴AG=EG，

∴四边形ADEC是平行四边形．

（3）

解：①（Ⅰ）当点C在BO上时，

第一种情况：如图，当点M在CE边上时，

∵MF∥OC，

∴△EMF∽△ECO，

∴ ，即 = ，

∴t=1，

第二种情况：当点N在DE边时，

∵NF∥PD，

∴△EFN∽△EPD，

∴ ，即 = ，

∴t= ，

（Ⅱ）当点C在BO的延长线上时，

第一种情况：当点M在DE边上时，

∵MF∥PD，

∴△EMF∽△EDP，

∴ 即 = ，

∴t= ，

第二种情况：当点N在CE边上时，

∵NF∥OC，

∴△EFN∽△EOC，

∴ 即 = ，

∴t=5．

② ＜S≤ 或 ＜S≤20．

当1≤t＜ 时，

S=t（6﹣2t）=﹣2（t﹣ ）2+ ，

∵t= 在1≤t＜ 范围内，

∴ ＜S≤ ，

当 ＜t≤5时，S=t（2t﹣6）=2（t﹣ ）2﹣ ，

∴ ＜S≤20．

【解析】（1）由C是OB的中点求出时间，再求出点E的坐标，（2）连接CD交OP于点G，由PCOD的对角线相等，求四边形ADEC是平行四边形．（3）当点C在BO上时，第一种情况，当点M在CE边上时，由△EMF∽△ECO求解，第二种情况，当点N在DE边上时，由△EFN∽△EPD求解；当点C在BO的延长线上时，第一种情况，当点M在DE边上时，由EMF∽△EDP求解，第二种情况，当点N在CE边上时，由△EFN∽△EOC求解；②当1≤t＜ 时和当 ＜t≤5时，分别求出S的取值范围，
【考点精析】解答此题的关键在于理解相似三角形的应用的相关知识，掌握测高：测量不能到达顶部的物体的高度，通常用“在同一时刻物高与影长成比例”的原理解决；测距：测量不能到达两点间的举例，常构造相似三角形求解．