Question

【题目】如图，正方形ABCD的边长为10 cm，点E，F，G，H分别从点A，B，C，D出发，以2 cm/s的速度同时分别向点B，C，D，A运动．

(1)在运动的过程中，四边形EFGH是何种四边形？请说明理由．

(2)运动多少秒后，四边形EFGH的面积为52cm2？

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）运动2s或3s后，四边形EFGH的面积为52cm2.

【解析】试题分析：

试题解析：解：(1)四边形EFGH为正方形．理由如下：

设运动时间为t s，则AE＝BF＝CG＝DH＝2tcm，

在正方形ABCD中，∠A＝∠B＝∠C＝∠D＝90°，

AB＝BC＝CD＝DA，∴BE＝CF＝DG＝AH.

在△AEH和△BFE中， ，

∴△AEH≌△BFE，

同理可证：△AEH≌△BFE≌△CGF≌△DHG，∴EH＝FE＝GF＝HG，

∴四边形EFGH为菱形．

∵△AEH≌△BFE，

∴∠AEH＝∠BFE，而∠BFE＋∠BEF＝90°，

∴∠AEH＋∠BEF＝90°，

∴∠HEF＝90°，

∴四边形EFGH为正方形．

(2)设运动的时间为x s，则AE＝BF＝CG＝DH＝2xcm.

∵AB＝BC＝CD＝DA＝10cm，

∴BE＝CF＝DG＝AH＝(10－2x)cm.

由勾股定理得S四边形EFGH＝EH2＝AE2＋AH2＝(2x)2＋(10－2x)2＝8x2－40x＋100.

当S四边形EFGH＝52 cm2时，8x2－40x＋100＝52，即x2－5x＋6＝0，

解得x1＝2，x2＝3.当x＝2时，AE＝2x＝2×2＝4＜10；

当x＝3时，AE＝2x＝2×3＝6＜10.

∴x＝2或3均符合题意．故运动2s或3s后，四边形EFGH的面积为52cm2.