Question

【题目】如图1，在平面直角坐标系中，点A，B，C的坐标分别是（0，a），（b，0），（a，﹣b）且a2+b2+4a﹣4b=﹣8，连接BC交y轴于点M，N为AC中点，连接NO并延长至D，使OD=ON，连接BD．
（1）求a，b的值；
（2）求∠DBC；
（3）如图2，Q为ON，BC的交点，连接AQ，AB，过点O作OP⊥OQ，交AB于P，过点O作OH⊥AB于H，交BQ于E，请探究线段EH，PH与OH之间有何数量关系？并证明你的结论．

Answer 1

【答案】解：（1）∵点A，B，C的坐标分别是（0，a），（b，0），（a，﹣b）且a2+b2+4a﹣4b=﹣8，
∴（a+2）2+（b﹣2）2=0，
∴a+2=0，b﹣2=0，
∴a=﹣2，b=2；
（2）∵A（0，﹣2），B（2，0），C（﹣2，﹣2），
∴AC∥x轴，
∵N为AC中点，
∴N（﹣1，﹣2），
∴AN=1，
∵OD=ON，
∴D和N点关于O点对称，
∴D（1，2），
设直线BD的解析式为y=k1x+b1 ，
∴，解得k1=﹣2，
设直线BC的解析式为y=k2x+b2 ，
∴，解得，
∵k1k2=﹣1，
∴DB⊥BC，
∴∠DBC=90°；
（3）∵A（0，﹣2），B（2，0），
∴OA=OB=2，
∵OH⊥AB，
∴AH=BH，
∴H（1，﹣1），
∴直线OH：y=﹣x，OH=，
∵线BC的解析式为y=x﹣1，
解得，
∴E（，﹣），
∴EH==，
∵N（﹣1，﹣2），
∴直线ON：y=2x，
∵OP⊥OQ，
∴直线OP：y=﹣x，
解得，
∴P（，﹣），
∴PH==，
∴OH﹣EH=2OH；
【解析】（1）把a2+b2+4a﹣4b=﹣8化成（a+2）2+（b﹣2）2=0，根据非负数的和等于0，即可求得a，b的值；
（2）根据A（0，﹣2），B（2，0），C（﹣2，﹣2），对称AC∥x轴，从而求得N的坐标，根据中心对称的性质对称D的坐标，然后根据待定系数法求得直线BD的斜率和直线BC的斜率，即可判定两条直线垂直，从而求得∠DBC=90°；
（3）分别求得E，H，P的坐标，根据勾股定理求得线段EH、OH、OH的长，即可得出线段EH，PH与OH之间的数量关系．