Question

【题目】(2016·大连中考)如图，抛物线y＝x2－3x＋与x轴相交于A、B两点，与y轴相交于点C，点D是直线BC下方抛物线上一点，过点D作y轴的平行线，与直线BC相交于点E.

(1)求直线BC的解析式；

(2)当线段DE的长度最大时，求点D的坐标．

Answer 1

【答案】(1) (2)

解：(1)∵抛物线y＝x2－3x＋与x轴相交于A、B两点，与y轴相交于点C，∴令y＝0，可得x＝或x＝，∴A点坐标为，B点坐标为；令x＝0，则y＝，∴C点坐标为.设直线BC的解析式为y＝kx＋b，则有解得∴直线BC的解析式为y＝－x＋；

(2)设点D的横坐标为m，则坐标为，∴E点的坐标为.设DE的长度为d.∵点D是直线BC下方抛物线上一点，则d＝－m＋－＝－m2＋m.∵a＝－1＜0，∴当m＝＝时，d有最大值，d最大＝＝，∴m2－3m＋＝－3×＋＝－，∴点D的坐标为.

【解析】试题分析：本题考查了二次函数与一元二次方程，待定系数法求一次函数关系式，二次函数的图像与性质.

（1）解一元二次方程求出A、B的坐标，根据y轴上点的坐标特征求出点C的坐标，利用待定系数法求出直线BC的解析式；

（2）设点D的横坐标为m，表示出D点的坐标和E点的坐标，根据二次函数的性质解答即可．

解：(1)∵抛物线y＝x2－3x＋与x轴相交于A、B两点，与y轴相交于点C，∴令y＝0，可得x＝或x＝，∴A点坐标为，B点坐标为；令x＝0，则y＝，∴C点坐标为.设直线BC的解析式为y＝kx＋b，则有解得∴直线BC的解析式为y＝－x＋；

(2)设点D的横坐标为m，则坐标为，∴E点的坐标为.设DE的长度为d.∵点D是直线BC下方抛物线上一点，则d＝－m＋－＝－m2＋m.∵a＝－1＜0，∴当m＝＝时，d有最大值，d最大＝＝，∴m2－3m＋＝－3×＋＝－，∴点D的坐标为.