Question

【题目】如图，CD是经过∠BCA的顶点C的一条直线，CA＝CB，E，F是直线CD上的两点，且∠BEC＝∠CFA＝α.

(1)若直线CD经过∠BCA的内部，且E，F在射线CD上，请解决下面两个问题：

①如图(a)，若∠BCA＝90°，α＝90°，则BE________CF，EF________|BE－AF|(填“>”“<”或“＝”)；

②如图(b)，若0°＜∠BCA＜180°，请添加一个关于α与∠BCA关系的条件________，使①中的两个结论仍然成立，并证明两个结论成立；

(2)如图(c)，若直线CD经过∠BCA的外部，∠BCA＝α，请写出EF，BE，AF三条线段数量关系的合理猜想(不要求证明)．

Answer 1

【答案】(1)①＝，＝；②所填的条件是：α＋∠BCA＝180°.证明见解析；(2)EF＝BE＋AF.

【解析】

(1)①求出∠BEC=∠AFC=90°，∠CBE=∠ACF，根据AAS证△BCE≌△CAF，推出BE=CF，CE=AF即可；②求出∠BEC=∠AFC，∠CBE=∠ACF，根据AAS证△BCE≌△CAF，推出BE=CF，CE=AF即可

(2)求出∠BEC=∠AFC，∠CBE=∠ACF，根据AAS证△BCE≌△CAF，推出BE=CF，CE=AF即可.

解：(1)①如图，E点在F点的左侧，

∵BE⊥CD，AF⊥CD，∠ACB=90°，

∴∠BEC=∠AFC=90°，

∴∠BCE＋∠ACF=90°，∠CBE+∠BCE=90°，

∴∠CBE=∠ACF，

在△BCE和△CAF中

，

∴△BCE≌△CAF(AAS)，

∴BE=CF，CE=AF，

∴EF=CF－CE=BE－AF，

当E在F的右侧时，同理可证EF=AF－BE，

∴EF=|BE－AF|；

②∠α＋∠ACB=180°时，①中两个结论仍然成立；

证明：∵∠BEC=∠CFA=∠a，∠α＋∠ACB=180°，

∴∠CBE=∠ACF，

在△BCE和△CAF中

，

∴△BCE≌△CAF（AAS），

∴BE=CF，CE=AF，

∴EF=CF－CE=BE－AF，

当E在F的右侧时，同理可证EF=AF－BE，

∴EF=|BE－AF|；

(2)EF=BE＋AF

理由是：∵∠BEC=∠CFA=∠a，∠a=∠BCA，

又∵∠EBC+∠BCE+∠BEC=180°，∠BCE+∠ACF+∠ACB=180°，

∴∠EBC+∠BCE=∠BCE+∠ACF，

∴∠EBC=∠ACF，

在△BEC和△CFA中，

∴△BEC≌△CFA(AAS)，

∴AF=CE，BE=CF，

∵EF=CE＋CF，

∴EF=BE＋AF.