Question

【题目】已知：关于x的一元二次方程mx2﹣（3m+2）x+2m+2=0（m＞0）
（1）求证：方程有两个不相等的实数根且其中一根为定值．
（2）设方程的两个实数根分别为x1 ， x2（其中x1＜x2）．若y是关于m的函数，且y=7x1﹣mx2 ， 求这个函数的解析式；并求当自变量m的取值范围满足什么条件时，y≤3m．

Answer 1

【答案】
（1）证明：△=（3m+2）2﹣4m（2m+2）

=m2+4m+4

=（m+2）2，

∵m＞0，

∴（m+2）2＞0，即△＞0，

∴方程有两个不相等的实数根，

∵x= ，

∴方程有一个根为1，

∴方程有两个不相等的实数根且其中一根为定值

（2）解：∵x= ，

∴x1=1，x2=2+ ，

∴y=7x1﹣mx2

=7﹣m（2+ ）

=﹣2m+5，

当y≤3m，即﹣2m+5≤3m，

∴m≥1

【解析】（1）先计算判别式的值得到△=（m+2）2 ， 由m＞0，得到△＞0，根据判别式的意义得到方程有两个不相等的实数根，再利用求根公式得到x= ，可得到方程有一个根为1，于是得到方程有两个不相等的实数根且其中一根为定值．（2）解方程得到x1=1，x2=2+ ，所以y=7﹣m（2+ ）=﹣2m+5，然后解不等式﹣2m+5≤3m．
【考点精析】解答此题的关键在于理解求根公式的相关知识，掌握根的判别式△=b2-4ac，这里可以分为3种情况：1、当△>0时，一元二次方程有2个不相等的实数根2、当△=0时，一元二次方程有2个相同的实数根3、当△<0时，一元二次方程没有实数根，以及对根与系数的关系的理解，了解一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根由方程的系数a、b、c而定；两根之和等于方程的一次项系数除以二次项系数所得的商的相反数；两根之积等于常数项除以二次项系数所得的商．