Question

【题目】如图，已知四边形ABCD是平行四边形，AC为对角线，∠DAC=30°，∠ACD=90°，AD=8，点M为AC的中点，动点E从点C出发以每秒1个单位的速度运动到点B停止，连接EM并延长交AD于点F，设点E的运动时间为t秒．

(1)求四边形ABCD的面积；

(2)当∠EMC=90°时，判断四边形DCEF的形状，并说明理由；

(3)连接BM，点E在运动过程中是否能使△BEM为等腰三角形?如果能，求出t；如果不能，请说明理由．

Answer 1

【答案】（1）16（2）菱形，理由见解析（3）t＝5.2或t＝82时，△BEM为等腰三角形

【解析】

（1）利用直角三角形中30°角所对的直角边等于斜边的一半求得平行四边形的定和高，再利用底乘以高计算面积；

（2）结合∠EMC＝90°以及平行四边形的性质，可证明四边形DCEF是平行四边形，再通过计算得到平行四边形CDFE的一组邻边相等即可证得结论；

（3）探究△BEM为等腰三角形，要分三种情况进行讨论：EB＝EM，EB＝BM，EM＝BM．通过相应的计算表示出BE，EM，BM，然后利用边相等建立方程进行求解．

（1）∵∠DAC＝30°，∠ACD＝90°，AD＝8，

∴CD＝4，AC＝=4．

又∵四边形ABCD为平行四边形，

∴四边形ABCD的面积为4×4＝16．

（2）如图1，当∠EMC＝90°时，四边形DCEF是菱形．

∵∠EMC＝∠ACD＝90°，

∴DC∥EF．

∵BC∥AD，

∴四边形DCEF是平行四边形，∠BCA＝∠DAC．

由（1）可知：CD＝4，AC＝4．

∵点M为AC的中点，

∴CM＝2．

在Rt△EMC中，∠CME＝90°，∠BCA＝30°．

∴CE＝2ME，可得ME2＋（2）2＝（2ME）2，

解得：ME＝2．

∴CE＝2ME＝4．

∴CE＝DC．

又∵四边形DCEF是平行四边形，

∴四边形DCEF是菱形．

（3）点E在运动过程中能使△BEM为等腰三角形．

理由：如图2，过点B作BG⊥AD与点G，过点E作EH⊥AD于点H，连接DM．

∵DC∥AB，∠ACD＝90°，

∴∠CAB＝90°．

∴∠BAG＝180°30°90°＝60°．

∴∠ABG＝30°．

∴AG＝AB＝2，BG＝=2．

∵点E的运动速度为每秒1个单位，运动时间为t秒，

∴CE＝t，BE＝8t．

在△CEM和△AFM中

，

∴△CEM≌△AFM．

∴ME＝MF，CE＝AF＝t．

∴HF＝HGAFAG＝BEAFAG＝8t2t＝62t．

∵EH＝BG＝2，

∴在Rt△EHF中，ME＝EF＝＝．

∵M为平行四边形ABCD对角线AC的中点，

∴D，M，B共线，且DM＝BM．

∵在Rt△DBG中，DG＝AD＋AG＝10，BG＝2，

∴BD=

故BM＝×4＝2．

要使△BEM为等腰三角形，应分以下三种情况：

当EB＝EM时，有(8t)2＝ [12＋(62t)2]，

解得：t＝5.2．

当EB＝BM时，有8t＝2，

解得：t＝82．

当EM＝BM时，由题意可知点E与点B重合，此时点B、E、M不构成三角形．

综上所述，当t＝5.2或t＝82时，△BEM为等腰三角形．