Question

【题目】如图，已知：在△ABC中，∠A=90°，AB=AC=1，P是AC上不与A、C重合的一动点，PQ⊥BC于Q，QR⊥AB于R．

（1）求证：PQ=CQ；

（2）设CP的长为x，QR的长为y，求y与x之间的函数关系式及自变量x的取值范围，并在平面直角坐标系作出函数图象．

（3）PR能否平行于BC？如果能，试求出x的值；若不能，请简述理由．

Answer 1

【答案】（1）证明见解析；（2）y=﹣x+（0＜x＜1）；（3）PR不能平行于BC．

【解析】试题分析：（1）根据题意易得△ABC是等腰直角三角形，则∠B=∠C=45°，然后利用PQ⊥CQ可得到△PCQ为等腰直角三角形，由此得证；

（2）根据等腰直角三角形的性质求出BC=AB=，CQ=PC=x，同理可证得△BQR是等腰直角三角形，则BQ=RQ=y，所以可得y+x=，变形可求出解析式，然后描点画图即可；

（3）由AR=1–y，AP=1–x，则AR=1–（–x+1），当AR=AP时，PR∥BC，所以1–（–x+1）=1–x，解得x=，然后利用0<x<1可判断.

试题解析：（1）∵∠A=90°，AB=AC=1，

∴△ABC为等腰直角三角形，

∴∠B=∠C=45°，

∵PQ⊥CQ，

∴△PCQ为等腰直角三角形，

∴PQ=CQ；

（2）解：∵△ABC为等腰直角三角形，

∴BC=AB=，

∵△PCQ为等腰直角三角形，

∴CQ=PC=x，

同理可证得为△BQR等腰直角三角形，

∴BQ=RQ=y，

∵BQ+CQ=BC，

∴y+x=，

∴y=–x+1（0<x<1），

如图，

（3）能．

理由如下：

∵AR=1–y，AP=1–x，

∴AR=1–（–x+1），

当AR=AP时，PR∥BC，

即1–（–x+1）=1–x，

解得x=，

∵0<x<1，∴PR能平行于BC．