【题目】在平面直角坐标系中，已知抛物线．

（1）抛物线的对称轴为_______；

（2）若当时，的最小值是，求当时，的最大值；

（3）已知直线与抛物线存在两个交点，设左侧的交点为点，当时，求的取值范围．

【答案】（1）；（2）当时，，即的最大值是；（3）

【解析】

（1）根据抛物线的对称轴公式即可得结论；

（2）根据抛物线的对称轴为x=2，可得顶点在1≤x≤5范围内，和y的最小值是-1，得顶点坐标为（2，-1），把顶点（2，-1）代入y=ax2-4ax+1，可得a的值，进而可得y的最大值；

（3）当x=-2时，P（-2，5），把P（-2，5）代入y=ax2-4ax+1，当x1=-1时，P（-1，4），把P（-1，4）代入y=ax2-4ax+1，分别求出a的值，再根据函数的性质即可得a的取值范围．

（1）抛物线的对称轴为：，

故答案为：x=2；

（2）解：∵抛物线的对称轴为x=2，

∴顶点在1≤x≤5范围内，

∵y的最小值是-1，

∴顶点坐标为（2，-1）．

∵a＞0，开口向上，

∴当x＞2时，y随x的增大而增大，

即x=5时，y有最大值，

∴把顶点（2，-1）代入y=ax2-4ax+1，

∴4a-8a+1=-1，

解得

∴

∴当x=5时，

即y的最大值是；

（3）当x=-2时，P（-2，5），

把P（-2，5）代入y=ax2-4ax+1，

∴4a+8a+1=5，

解得a=，

当x1=-1时，P（-1，4），

把P（-1，4）代入y=ax2-4ax+1，

∴a+4a+1=4，

解得a=，

∴≤a＜．

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