Question

【题目】如图，在四边形ABCD中，E、F分别为对角线BD上的两点，且BE=DF．

（1）若四边形AECF是平行四边形，求证：四边形ABCD是平行四边形；
（2）若四边形AECF是菱形，则四边形ABCD是菱形吗？请说明理由？
（3）若四边形AECF是矩形，则四边形ABCD是矩形吗？不必写出理由．

Answer 1

【答案】
（1）证明：连接AC交BD于点O，如图所示：

∵四边形AECF是平行四边形，

∴OA=OC，OE=OF，

∵BE=DF，

∴OB=OD，

∴四边形ABCD是平行四边形

（2）解：理由如下：

∵四边形AECF是菱形，

∴AC⊥BD，

由（1）知，四边形ABCD是平行四边形；

∴四边形ABCD是菱形

（3）解：四边形ABCD不是矩形；理由如下：

∵四边形AECF是矩形，

∴OA=OC，OE=OF，AC=EF，

∴OA=OC=OE=OF，

∵BE=DF，

∴OB=OD，

∴AC＜BD，

∴四边形ABCD是平行四边形，不是矩形．

【解析】（1）连接AC交BD于点O，由平行四边形的性质得出OA=OC，OE=OF，再证出OB=OD，即可得出结论；（2）由菱形的性质得出AC⊥BD，即可得出结论；（3）由矩形的性质得出OA=OC=OE=OF，证出OB=OD，AC＜BD，得出四边形ABCD是平行四边形，不是矩形．
【考点精析】关于本题考查的平行四边形的判定和菱形的判定方法，需要了解两组对边分别平行的四边形是平行四边形：两组对边分别相等的四边形是平行四边形；一组对边平行且相等的四边形是平行四边形；两组对角分别相等的四边形是平行四边形；对角线互相平分的四边形是平行四边形；任意一个四边形，四边相等成菱形；四边形的对角线，垂直互分是菱形．已知平行四边形，邻边相等叫菱形；两对角线若垂直，顺理成章为菱形才能得出正确答案．