【题目】如图，在平面直角坐标系中，四边形ABCD是以AB为直径的⊙M的内接四边形，点A，B在x轴上，△MBC是边长为2的等边三角形，过点M作直线l与x轴垂直，交⊙M于点E，垂足为点M，且点D平分 ．

（1）求过A，B，E三点的抛物线的解析式；
（2）求证：四边形AMCD是菱形；
（3）请问在抛物线上是否存在一点P，使得△ABP的面积等于定值5？若存在，请求出所有的点P的坐标；若不存在，请说明理由．

参考答案：

【答案】
（1）

解：由题意可知，△MBC为等边三角形，点A，B，C，E均在⊙M上，

则MA=MB=MC=ME=2，

又∵CO⊥MB，

∴MO=BO=1，

∴A（﹣3，0），B（1，0），E（﹣1，﹣2），

抛物线顶点E的坐标为（﹣1，﹣2），

设函数解析式为y=a（x+1）2﹣2（a≠0）

把点B（1，0）代入y=a（x+1）2﹣2，

解得：a= ，

故二次函数解析式为：y= （x+1）2﹣2；


（2）

证明：

连接DM，

∵△MBC为等边三角形，

∴∠CMB=60°，

∴∠AMC=120°，

∵点D平分弧AC，

∴∠AMD=∠CMD= ∠AMC=60°，

∵MD=MC=MA，

∴△MCD，△MDA是等边三角形，

∴DC=CM=MA=AD，

∴四边形AMCD为菱形（四条边都相等的四边形是菱形）；


（3）

解：存在．

理由如下：

设点P的坐标为（m，n）

∵S△ABP= AB|n|，AB=4

∴ ×4×|n|=5，

即2|n|=5，

解得：n=± ，

当 时， （m+1）2﹣2= ，

解此方程得：m1=2，m2=﹣4

即点P的坐标为（2， ），（﹣4， ），

当n=﹣ 时， （m+1）2﹣2=﹣ ，

此方程无解，

故所求点P坐标为（2， ），（﹣4， ）．


【解析】此题主要考查了二次函数综合以及菱形的判定方法、三角形面积求法和等边三角形的性质等知识，正确得出E点坐标是解题关键．（1）根据题意首先求出抛物线顶点E的坐标，再利用顶点式求出函数解析式；（2）利用等边三角形的性质结合圆的有关性质得出∠AMD=∠CMD= ∠AMC=60°，进而得出DC=CM=MA=AD，即可得出答案；（3）首先表示出△ABP的面积进而求出n的值，再代入函数关系式求出P点坐标．

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