Question

【题目】已知：在四边形ABCD中，E，F分别是AB，AD边上的点，DE与CF相交于点G.

(1)如图①，若四边形ABCD是矩形，且DE⊥CF.求证：；

(2)如图②，若四边形ABCD是平行四边形，试探究：当∠B与∠EGC满足什么关系时，成立？并证明你的结论；

(3)如图③，若BA＝BC＝9，DA＝DC＝12，∠BAD＝90°，DE⊥CF.求的值．

Answer 1

【答案】（1）详见解析；（2）)当∠B＝∠EGC或∠B＋∠EGC＝180°时，成立，证明详见解析；（3）.

【解析】

（1）由矩形的性质得出∠A=∠ADC=90°，由角的互余关系整除∠ADE=∠DCF，即可得出△ADE∽△DCF；
（2）在AD的延长线上取点M，使CM=CF，由等腰三角形的性质得出∠CMF=∠CFM．由平行四边形的性质得出∠A=∠CDM，∠FCB=∠CFM，证出∠BEG+∠FCB=180°，得出∠AED=∠FCB，因此∠CMF=∠AED．证明△ADE∽△DCM，得出对应边成比例得 即可得出结论；
（3）过C作CN⊥AD于N，CM⊥AB交AB延长线于M，连接BD，设CN=x，△BAD≌△BCD，推出∠BCD=∠A=90°，证△BCM∽△DCN，求出CM，在Rt△CMB中，由勾股定理得出BM2+CM2=BC2，建立方程求出求出CN，最后用相似三角形的性质即可得出结论．

(1)证明：∵四边形ABCD是矩形，

∴∠A=∠ADC=90°，

∴∠ADE＋∠CDG=90°.

∵DE⊥CF，

∴∠CDG＋∠DCF=90°，

∴∠ADE=∠DCF.

又∵∠A=∠CGD=90°，

∴△ADE∽△GCD，

∴ 即

(2)当∠B=∠EGC或∠B＋∠EGC=180°时，成立．

证明：当∠B＝∠EGC时，过点C作DE的平行线，过点D作CF的平行线，两线交于点M，如图①，∴四边形CMDG是平行四边形，

∴CG=DM，∠M=∠CGD，∠CDG＝∠DCM.

∵四边形ABCD是平行四边形，

∴AB∥CD，AD∥BC，

∴∠A＋∠B=180°，∠FCB=∠CFD.

∵∠B=∠EGC，∴∠A＋∠EGC=180°.

∵∠EGC＋∠CGD=180°，

∴∠A=∠CGD，

∴∠A=∠CGD=∠M.

∵AB∥CD，

∴∠AED=∠CDG.

∵∠CDG=∠DCM，

∴∠AED=∠DCM，

∴△ADE∽△MDC，

∴

∵CG=DM，

∴

即

　　　

当∠B＋∠EGC=180°时，过点C作DE的平行线，过点D作CF的平行线，两线交于点M，如图②，

∵四边形ABCD是平行四边形，

∴AB∥CD，AD∥BC，

∴∠CFD=∠BCF.

∵∠B＋∠EGC=180°，

∴∠GEB＋∠BCF=180°，

∴∠BCF=∠AED，

∴∠CFD=∠AED.

∵∠ADE=∠GDF，

∴△FDG∽△EDA，

∴，即

∵AB∥CD，∴∠AED=∠CDE，

∴∠CFD=∠CDE.

∵∠FCD=∠DCG，

∴△FCD∽△DCG，

∴

∴

∴

(3)如图③，过点C作CN⊥AD于点N，CM⊥AB交AB的延长线于点M，连接BD，设CN=x，

∵∠BAD=90°，

∴∠A=∠M=∠CAN=90°，

∴四边形AMCN是矩形，

∴AM=CN，AN=CM.

∵在△BAD和△BCD中，

∴△BAD≌△BCD，

∴∠BCD=∠A=90°，

∴∠ABC＋∠ADC=180°.

∵∠ABC＋∠MBC=180°，

∴∠MBC=∠ADC.

∵∠CND=∠M=90°，

∴△BCM∽△DCN，

∴即，∴

在Rt△CMB中，，BM=AM－AB=x－9，

由勾股定理，得BM2＋CM2=BC2，

∴

解得x1=0(舍去)，

∴

∵∠A=∠FGE=90°，

∴∠AED＋∠AFG=180°.

∵∠AFG＋∠NFC=180°，

∴∠/span>AED=∠NFC.

∵∠A=∠CNF=90°，

∴△AED∽△NFC，