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【题目】如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝4，sin∠ABC＝
，点D为射线BC上一点，联结AD，过点B作BE⊥AD分别交射线AD、AC于点E、F，联结DF，过点A作AG∥BD，交直线BE于点G．
（1）当点D在BC的延长线上时，如果CD＝2，求tan∠FBC；
（2）当点D在BC的延长线上时，设AG＝x，S△DAF＝y，求y关于x的函数关系式（不需要写函数的定义域）；
（3）如果AG＝8，求DE的长．
【答案】（1）
；（2）
；（3）
或
．
【解析】
（1）求出AC＝3，可得∠DAC＝∠FBC，则tan∠FBC＝tan∠DAC＝
；
（2）由条件可得∠AGF＝∠CBF，可得
，可用x表示CF和AF的长，求出CD，则S△DAF＝
，可用x表示结果；
（3）分两种情况，①当点D在BC的延长线上时，②当点D在BC的边上时，可求出AE长AD的长，则DE＝AD﹣AE可求出．
解：
（1）∵∠ACB＝90
，BC＝4，sin∠ABC＝
，
∴设AC＝3x，AB＝5x，
∴（3x）2+16＝（5x）2，
∴x＝1，
即AC＝3，
∵BE⊥AD，
∴∠AEF＝90，
∵∠AFE＝∠CFB，
∴∠DAC＝∠FBC，
∴tan∠FBC＝tan∠DAC＝；
（2）∵AG∥BD，
∴∠AGF＝∠CBF，
∴tan∠AGF＝tan∠CBF，
∴，
，
∴
，
∴
，
∴
，
∵∠EAF＝∠CBF，
∴
，
∴
，
∴S△DAF＝
；
（3）①当点D在BC的延长线上时，如图1，
∵AG＝8，BC＝4，AG∥BD，
∴
，
∴AF＝2CF，
∵AC＝3，
∴AF＝2，CF＝1，
∴
，
∴
，
设AE＝x，GE＝4x，
∴x2+16x2＝82，
解得x＝
，
即AE＝，
同理tan∠DAC＝tan∠CBF，
∴
，
∴DC＝
，
∴AD＝
，
∴
，
②当点D在BC的边上时，如图2，
∵AG∥BD，AG＝8，BC＝4，
∴，
∴AF＝6，
∵∠EAF＝∠CBF＝∠ABC，
∴cos∠EAF＝cos∠ABC，
∴
，
∴
，
同理
，
∴
，
∴
，
∴DE＝AE﹣AD＝
，
综合以上可得DE的长为或；
