Question

【题目】如图，△ABC中，∠ACB＝90°，tanA＝，点D是边AC上一点，连接BD，并将△BCD沿BD折叠，使点C恰好落在边AB上的点E处，过点D作DF⊥BD，交AB于点F.

(1)求证：∠ADF＝∠EDF；

(2)探究线段AD，AF，AB之间的数量关系，并说明理由；

(3)若EF＝1，求BC的长.

Answer 1

【答案】（1）证明见解析；（2）AD2＝AF·AB，理由见解析；（3）5＋2.

【解析】试题解析：（1）根据题意得∠ADF＋∠BDC＝∠EDF＋∠BDE＝90°，由折叠可知，∠BDE＝∠BDC.所以∠ADF＝∠EDF；

(2)易证△ADF∽△ABD，得AF∶AD＝AD∶AB＝DF∶DB，得AD2＝AF·AB；

（3）设AE＝x，DE＝x，由勾股定理可得，AD＝DE＝x，可证△ADE∽△DFE，得BE＝2x2，由(2)知AD2＝AF·AB，即3x2＝(x－1)×(x＋2x2).解得x 的值，即可求BC的值

试题解析:(1)∵DF⊥DB，∴∠BDF＝90°.

∴∠ADF＋∠BDC＝∠EDF＋∠BDE＝90°

由折叠可知，∠BDE＝∠BDC.

∴∠ADF＝∠EDF.

(2)AD，AF，AB之间的数量关系为AD2＝AF·AB，理由如下：

由折叠可知，∠DEF＝∠BFD＝∠C＝90°.

∴∠EDF＋∠DFE＝∠ABD＋∠DFE＝90°.

∴∠EDF＝∠ABD.　

∴∠ADF＝∠DBA.

∵∠A＝∠A，∴△ADF∽△ABD.　

∴AF∶AD＝AD∶AB＝DF∶DB.

∴AD2＝AF·AB.　

(3)在Rt△ADE中，tanA＝DE∶AE＝∶1，则可设AE＝x，DE＝x，由勾股定理可得，AD＝DE＝x.

∵∠ABD＝∠EDF，∠AED＝∠DEF，

∴△ADE∽△DFE.　∴DE∶EF＝BE∶DE，即DE2＝EF·EB.

∴(x)2＝1×BE，即BE＝2x2。

由(2)知AD2＝AF·AB，

∴(x)2＝(AE－EF)(AE＋BE)＝(x－1)×(x＋2x2).

即3x2＝(x－1)×(x＋2x2).

解得，x＝1＋，x＝1－ (舍).

∴BE＝2x2＝2(1＋)2＝5＋2.

由折叠可知，BC＝BE＝5＋2.