Question

【题目】如图，在平面直角坐标系中，点A（ ，0），B（3 ，2），C（0，2）．动点D以每秒1个单位的速度从点O出发沿OC向终点C运动，同时动点E以每秒2个单位的速度从点A出发沿AB向终点B运动．过点E作EF⊥AB，交BC于点F，连接DA、DF．设运动时间为t秒．

（1）求∠ABC的度数；
（2）当t为何值时，AB∥DF；
（3）设四边形AEFD的面积为S．①求S关于t的函数关系式；
②若一抛物线y=﹣x2+mx经过动点E，当S＜2 时，求m的取值范围（写出答案即可）．

Answer 1

【答案】
（1）

解：过点B作BM⊥x轴于点M

∵C（0，2），B（3 ，2）

∴BC∥OA

∴∠ABC=∠BAM

∵BM=2，AM=2

∴tan∠BAM=

∴∠ABC=∠BAM=30°

（2）

解：∵AB∥DF

∴∠CFD=∠CBA=30°

在Rt△DCF中，CD=2﹣t，∠CFD=30°，

∴CF= （2﹣t）

∴AB=4，

∴BE=4﹣2t，∠FBE=30°，

∴BF=

∴ （2﹣t）+ = ，

∴t=

（3）

解：①连接DE，过点E作EG⊥x轴于点G，

则EG=t，OG= + t

∴E（ + t，t）

∴DE∥x轴

S=S△DEF+S△DEA= DE×CD+ DE×OD

= ×OC= ×（ ）×2

= + t．

②当S 时，

由①可知，S= + t

∴ t+ ＜2 ，

∴t＜1，

∵t＞0，

∴0＜t＜1，

∵y=﹣x2+mx，点E（ + t，t）在抛物线上，

当t=0时，E（ ，0），

∴m= ，

当t=1时，E（2 ，1），

∴m= ，

∴ ＜m＜

【解析】（1）求∠ABC的度数即求∠BAx的度数，过B作BM⊥x轴于M，则AM=2 ，BM=2，由此可得出∠BAM即∠ABC的度数．（2）当AB∥FD时，∠CFD=∠B=30°，可在直角三角形CDF中，用CD的长表示出CF，同理可在直角三角形FEB中，用BE的长表示出BF，然后可根据CF+BF=BC来求出t的值．（3）①连接DE，根据D、E的速度可知AE=2OD，而AE=2EG，因此OD∥=EG，即四边形ODEG是矩形，因此DE∥x轴，那么四边形AEFD的面积可分成三角形ADE和三角形EFD两部分来求出．两三角形都以DE为底，两三角形高的和正好是OC的长，因此四边形ADEF的面积就等于 DEOC，关键是求出DE的长．如果过A作DE的垂线不难得出DE=OA+AEsin60°，由此可得出S，t的函数关系式．
②已知了S的取值范围可根据①的函数关系式求出t的取值范围．在①题已经求得了E点坐标，将其代入抛物线的解析式中，用m表示出t的值，然后根据t的取值范围即可求出m的取值范围．