Question

【题目】如图，正方形ABCD的边长为1，以AB为直径作半圆，点P是CD中点，BP与半圆交于点Q，连结DQ，给出如下结论：①DQ=1；② = ；③S△PDQ= ；④cos∠ADQ= ，其中正确结论是（填写序号）

Answer 1

【答案】①②④
【解析】解：正确结论是①②④． 提示：①连接OQ，OD，如图1．

易证四边形DOBP是平行四边形，从而可得DO∥BP．
结合OQ=OB，可证到∠AOD=∠QOD，从而证到△AOD≌△QOD，
则有DQ=DA=1．
故①正确；②连接AQ，如图2．

则有CP= ，BP= = ．
易证Rt△AQB∽Rt△BCP，
运用相似三角形的性质可求得BQ= ，
则PQ= ﹣ = ，
∴ = ．
故②正确；③过点Q作QH⊥DC于H，如图3．

易证△PHQ∽△PCB，
运用相似三角形的性质可求得QH= ，
∴S△DPQ= DPQH= × × = ．
故③错误；④过点Q作QN⊥AD于N，如图4．

易得DP∥NQ∥AB，
根据平行线分线段成比例可得 = = ，
则有 = ，
解得：DN= ．
由DQ=1，得os∠ADQ= = ．
故④正确．
综上所述：正确结论是①②④．
所以答案是：①②④．
【考点精析】通过灵活运用平行四边形的判定与性质和平行线分线段成比例，掌握若一直线过平行四边形两对角线的交点，则这条直线被一组对边截下的线段以对角线的交点为中点，并且这两条直线二等分此平行四边形的面积；三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例即可以解答此题．