Question

【题目】在平面直角坐标系中，过点C（1，3）、D（3，1）分别作x轴的垂线，垂足分别为A、B．

（1）求直线CD和直线OD的解析式；

（2）点M为直线OD上的一个动点，过M作x轴的垂线交直线CD于点N，是否存在这样的点M，使得以A、C、M、N为顶点的四边形为平行四边形？若存在，求此时点M的横坐标；若不存在，请说明理由；

（3）若△AOC沿CD方向平移（点C在线段CD上，且不与点D重合），在平移的过程中，设平移距离为t，△AOC与△OBD重叠部分的面积记为s，试求s与t的函数关系式．

Answer 1

【答案】（1）直线OD的解析式为y＝x；（2）存在．满足条件的点M的横坐标或，理由见解析；（3）S＝﹣（t﹣1）2+．

【解析】

（1）理由待定系数法即可解决问题；
（2）如图，设M（m，m），则N（m，-m+4）．当AC=MN时，A、C、M、N为顶点的四边形为平行四边形，可得|-m+4-m|=3，解方程即可；
（3）如图，设平移中的三角形为△A′O′C′，点C′在线段CD上．设O′C′与x轴交于点E，与直线OD交于点P；设A′C′与x轴交于点F，与直线OD交于点Q．根据S=S△OFQ-S△OEP=OFFQ-OEPG计算即可；

（1）设直线CD的解析式为y＝kx+b，则有，解得，

∴直线CD的解析式为y＝﹣x+4．

设直线OD的解析式为y＝mx，则有3m＝1，m＝，

∴直线OD的解析式为y＝x．

（2）存在．

理由：如图，设M（m， m），则N（m，﹣m+4）．

当AC＝MN时，A、C、M、N为顶点的四边形为平行四边形，

∴|﹣m+4﹣m|＝3，

解得m＝或，

∴满足条件的点M的横坐标或．

（3）如图，设平移中的三角形为△A′O′C′，点C′在线段CD上．

设O′C′与x轴交于点E，与直线OD交于点P；

设A′C′与x轴交于点F，与直线OD交于点Q．

因为平移距离为t，所以水平方向的平移距离为t（0≤t＜2），

则图中AF＝t，F（1+t，0），Q（1+t， +t），C′（1+t，3﹣t）．

设直线O′C′的解析式为y＝3x+b，

将C′（1+t，3﹣t）代入得：b＝﹣4t，

∴直线O′C′的解析式为y＝3x﹣4t．

∴E（t，0）．

联立y＝3x﹣4t与y＝x，解得x＝t，

∴P（t， t）．

过点P作PG⊥x轴于点G，则PG＝t．

∴S＝S△OFQ﹣S△OEP＝OFFQ﹣OEPG

＝（1+t）（+t）﹣tt

＝﹣（t﹣1）2+．