Question

【题目】如图，在△ABC中，∠C＝90°，D是BC边上一点，以DB为直径的⊙O经过AB的中点E，交AD的延长线于点F，连接EF.

(1)求证：∠1＝∠F；

(2)若sinB＝，EF＝2，求CD的长．

Answer 1

【答案】（1）证明见解析（2）3

【解析】试题分析：（1）连接DE，由BD是⊙O的直径，得到∠DEB=90°，由于E是AB的中点，得到DA=DB，根据等腰三角形的性质得到∠1=∠B等量代换即可得到结论；（2）根据等腰三角形的判定定理得到AE=EF=2，推出AB=2AE=4，在Rt△ABC中，根据勾股定理得到BC==8，设CD=x，则AD=BD=8﹣x，根据勾股定理列方程即可得到结论．

试题解析：（1）连接DE， ∵BD是⊙O的直径， ∴∠DEB=90°， ∵E是AB的中点， ∴DA=DB，

∴∠1=∠B， ∵∠B=∠F， ∴∠1=∠F；

（2）∵∠1=∠F， ∴AE=EF=2， ∴AB=2AE=4，

在Rt△ABC中，AC=ABsinB=4， ∴BC==8，

设CD=x，则AD=BD=8﹣x， ∵AC2+CD2=AD2， 即42+x2=（8﹣x）2， ∴x=3，即CD=3．