【题目】如图，已知二次函数的图象经过点，，且与轴交于点，连接、、.

(1)求此二次函数的关系式；

(2)判断的形状；若的外接圆记为，请直接写出圆心的坐标；

(3)若将抛物线沿射线方向平移，平移后点、、的对应点分别记为点、、，的外接圆记为，是否存在某个位置，使经过原点？若存在，求出此时抛物线的关系式；若不存在，请说明理由.

参考答案：

【答案】（1）（2）直角三角形，（2，2）（3）存在，抛物线的关系式为

或

【解析】

试题分析：（1）根据待定系数法可直接代入得到方程组求值，得到函数的解析式；

（2）过点作轴于点，然后根据角之间的关系得到是直角三角形，最后根据坐标得到D点；

（3）取中点，过点作轴于点，根据勾股定理求出MC的长和OM的长，再通过平移的性质得到平移的距离，然后根据二次函数的平移性质可得到解析式.

试题解析：(1)把点，代入中得

，解得，

所以所求函数的关系式为.

(2)为直角三角形.

过点作轴于点，

易知点坐标为，所以，所以，

又因为点坐标为，所以，所以，

所以，所以为直角三角形，

圆心的坐标为.

(3)存在.

取中点，过点作轴于点，

因为的坐标为，

所以，，

所以，

又因为，

所以，

所以要使抛物线沿射线方向平移，

且使经过原点，

则平移的长度为或，

因为，

所以抛物线的顶点向左、向下均分别平移个单位长度，

或个单位长度.

因为.

所以平移后抛物线的关系式为，

即

或，即.

综上所述，存在一个位置，使经过原点，此时抛物线的关系式为

或.

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