Question

【题目】如图，P为⊙O外一点，PA、PB为⊙O的切线，A、B为切点，AC为⊙O的直径，PO交于⊙O于点E．
（1）试判断∠APB与∠BAC的数量关系；
（2）若⊙O的半径为4，P是⊙O外一动点，是否存在点P，使四边形PAOB为正方形？若存在，请求出PO的长，并判断点P的个数及其满足的条件；若不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】
（1）解：连接BA，如图1，

∵PA、PB为⊙O的切线，

∴OA⊥PA，OB⊥PB，

∴∠OAP=∠OBP=90°，

∴∠APB+∠AOB=180°，

而∠AOB+∠BOC=180°，

∴∠BOC=∠APB，

∵∠BOC=∠OAB+∠OBA，

而OA=OB，

∴∠OAB=∠OBA，

∴∠BOC=2∠BAC，

∴∠APB=2∠BAC；

（2）解：存在．

∵PA、PB为⊙O的切线，

∴OA⊥PA，OB⊥PB，

∴∠OAP=∠OBP=90°，

∴OA⊥OB时，四边形PAOB为矩形，

而OA=OB，

∴四边形PAOB为正方形，

∴OP= OA=4 ；

这样的点P有无数个，当点P在以O点为圆心，4 为半径的圆上时，四边形PAOB为正方形．

【解析】（1）连接BA，如图1，先根据切线的性质得∴∠OAP=∠OBP=90°，再根据四边形内角和得到∠APB+∠AOB=180°，而∠AOB+∠BOC=180°，则∠BOC=∠APB，利用三角形外角性质得∠BOC=2∠BAC，所以∠APB=2∠BAC，（2）由PA、PB为⊙O的切线得∠OAP=∠OBP=90°，所以当OA⊥OB时，四边形PAOB为矩形，加上OA=OB，于是可判断四边形PAOB为正方形，根据正方形的性质得OP= OA=4 ；由此得到这样的点P有无数个，当点P在以O点为圆心，4 为半径的圆上时，四边形PAOB为正方形．
【考点精析】通过灵活运用勾股定理的概念和正方形的判定方法，掌握直角三角形两直角边a、b的平方和等于斜边c的平方,即;a2+b2=c2；先判定一个四边形是矩形，再判定出有一组邻边相等；先判定一个四边形是菱形，再判定出有一个角是直角即可以解答此题．