Question

【题目】如图，在四边形ABCD中，AB=AD，CB=CD，AC与BD相交于O点，OC=OA，若E是CD上任意一点，连接BE交AC于点F，连接DF．

（1）证明：△CBF≌△CDF；

（2）若AC=2，BD=2，求四边形ABCD的周长；

（3）请你添加一个条件，使得∠EFD=∠BAD，并予以证明．

Answer 1

【答案】（1）证明见解析；（2）8；（3）EB⊥CD，证明见解析.

【解析】

试题分析：（1）首先利用SSS定理证明△ABC≌△ADC可得∠BCA=∠DCA即可证明△CBF≌△CDF．

（2）由△ABC≌△ADC可知，△ABC与△ADC是轴对称图形，得出OB=OD，∠COB=∠COD=90°，因为OC=OA，所以AC与BD互相垂直平分，即可证得四边形ABCD是菱形，然后根据勾股定理全等AB长，进而求得四边形的面积．

（3）首先证明△BCF≌△DCF可得∠CBF=∠CDF，再根据BE⊥CD可得∠BEC=∠DEF=90°，进而得到∠EFD=∠BCD=∠BAD．

试题解析：（1）证明：在△ABC和△ADC中，

，

∴△ABC≌△ADC（SSS），

∴∠BCA=∠DCA，

在△CBF和△CDF中，

，

∴△CBF≌△CDF（SAS），

（2）解：∵△ABC≌△ADC，

∴△ABC和△ADC是轴对称图形，

∴OB=OD，BD⊥AC，

∵OA=OC，

∴四边形ABCD是菱形，

∴AB=BC=CD=DA，

∵AC=2，BD=2，

∴OA=，OB=1，

∴AB=，

∴四边形ABCD的周长=4AB=4×2=8．

（3）当EB⊥CD时，即E为过B且和CD垂直时垂线的垂足，∠EFD=∠BCD，

理由：∵四边形ABCD为菱形，

∴BC=CD，∠BCF=∠DCF，∠BCD=∠BAD，

∵△BCF≌△DCF，

∴∠CBF=∠CDF，

∵BE⊥CD，

∴∠BEC=∠DEF=90°，

∴∠BCD+∠CBF=90°，∠EFD+∠CDF=90°，

∴∠EFD=∠BAD．