Question

【题目】如图，点O是边长为4 的等边△ABC的内心，将△OBC绕点O逆时针旋转30°得到△OB1C1 ， B1C1交BC于点D，B1C1交AC于点E，则DE= ．

Answer 1

【答案】6﹣2
【解析】解：令OB1与BC的交点为F，B1C1与AC的交点为M，过点F作FN⊥OB于点N，如图所示．
∵将△OBC绕点O逆时针旋转30°得到△OB1C1 ，
∴∠BOF=30°，
∵点O是边长为4 的等边△ABC的内心，
∴∠OBF=30°，OB= AB=4，
∴△FOB为等腰三角形，BN= OB=2，
∴BF= = =OF．
∵∠OBF=∠OB1D，∠BFO=∠B1FD，
∴△BFO∽△B1FD，
∴ ．
∵B1F=OB1﹣OF=4﹣ ，
∴B1D=4 ﹣4．
在△BFO和△CMO中，有 ，
∴△BFO≌△CMO（ASA），
∴OM=BF= ，C1M=4﹣ ，
在△C1ME中，∠C1ME=∠MOC+∠MCO=60°，∠C1=30°，
∴∠C1EM=90°，
∴C1E=C1Msin∠C1ME=（4﹣ ）× =2 ﹣2．
∴DE=B1C1﹣B1D﹣C1E=4 ﹣（4 ﹣4）﹣（2 ﹣2）=6﹣2 ．
所以答案是：6﹣2 ．
【考点精析】通过灵活运用等边三角形的性质和三角形的内切圆与内心，掌握等边三角形的三个角都相等并且每个角都是60°；三角形的内切圆的圆心是三角形的三条内角平分线的交点，它叫做三角形的内心即可以解答此题．